Trygonometria

juliusz @juliusz · May 3, 2007

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Funkcje trygonometryczne są głównymi pojęciami trygonometrii. Istnieje sześć funkcji trygonometrycznych:

sinus (czyt. sinus), symbol: sin
cosinus (czyt. kosinus), symbol: cos
tangens (czyt. tangens), symbol: tg, tan
cotangens (czyt. kotangens), symbol: ctg, cot, ctn
secans (czyt. sekans), symbol: sec,
cosecans (czyt. kosekans), symbol: cosec, csc

Argumentami funkcji trygonometrycznych mogą być:

kąt skierowany
liczba rzeczywista

DEFINICJA

funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

Sinusem kąta ostrego $α$ nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej na przeciw kąta $α$ do przeciwprostokątnej

Cosinusem kąta ostrego $α$ nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie $α$ do przeciwprostokątnej

Tangensem kąta ostrego $α$ nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej na przeciw kąta $α$ do przyprostokątnej leżącej przy kącie $α$

Cotangensem kąta ostrego $α$ nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie $α$ do przyprostokątnej leżącej na przeciw kąta $α$

$ctg\alpha = {b \over a}$ lub $ctg\alpha = {1 \over \tan\alpha}$

Secansem kąta ostrego $α$ nazywamy stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej leżącej przy kącie $α$

$\sec\alpha = {c \over b}$ lub $\sec\alpha = { 1 \over \cos\alpha}$

Cosecansem kąta ostrego $α$ nazywamy stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej leżącej na przeciw kąta $α$

$\csc\alpha = {c \over a}$ lub $\csc\alpha = {1 \over \sin\alpha}$

Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60°

Wyznaczyć wartości funkcji tryg. dla kątów o mierze 30° i 60° można za pomocą trójkąta równobocznego, wykorzystując do tego jego własności.

$\sin 30 = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{2}$

$tg 30 = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

A teraz korzystając z własności kwadratu obliczymy wartości funkcji trygonometrycznej dla kąta o mierze 45°.

Z powyższych wyliczeń można stworzyć tabelkę, której będziesz musiał nauczyć się na pamięć.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta 30°, 45° i 60°
×	30°	45°	60°
$sin$	$\frac{1}{2}$
$cos$			$\frac{1}{2}$
$t g$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$
$c t g$	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Miara łukowa kąta

Narysujmy okrąg o promieniu r, a na nim zaznaczmy łuk L, dla którego kąt środkowy oparty o ten łuk będzie wynosił $60^\circ$ . Znajdźmy wzór na długość tego łuku.

Intuicyjnie długość łuku do obwodu okręgu jest równa mierze kąta w stopniach do $360^\circ$ :

$\frac{L}{\mbox{Ob}}=\frac{60^\circ}{360^\circ}$

ponieważ $Ob = 2π r$ , otrzymujemy:

$\frac{L}{2\pi r}=\frac{60^\circ}{360^\circ}$

zatem:

$L=\frac{2\pi \cdot 60^\circ r}{360^\circ}=\left(\frac{2\pi \cdot 60^\circ}{360^\circ}\right) r$

Jak łatwo zauważyć wartość $\left(\frac{2\pi 60^\circ}{360^\circ}\right)$ nie zależy od promienia naszego okręgu, tylko od kąta, który tworzy nasz łuk. Wartość ta nazywana jest miarą łukową kąta dla kąta $60^\circ$ . W ogólności wzór na długość łuku wyznaczonego przez kąt $\varphi_\circ$ (wyznaczonego w stopniach) przybierze postać:

$L=\left(\frac{2\pi \varphi_\circ}{360^\circ}\right) r=\left(\frac{\pi \varphi_\circ}{180^\circ}\right) r$

Tak jak długość nie musi wyrażać się w metrach, tak też kąt nie musi wyrażać się w stopniach. Możemy wykorzystać inną jednostkę kąta, jakim jest radian. Wtedy wartość kąta jest wyrażana w tzw. mierze łukowej. Załóżmy, że kąt $\varphi_\circ$ jest wyrażony w stopniach, $\varphi$ w radianach, wówczas wartości tych kątów wiąże zależność:

$\varphi=\frac{\pi \varphi_\circ}{180^\circ}$

Jednostką miary łukowej jest radian, który w skrócie zapisywany jest przez rad. Często przy podawaniu kąta wyrażonego w mierze łukowej pomija się jednostkę np. zamiast $\frac{\pi}{2}\mbox{ rad}$ pisze się po prostu $\frac{\pi}{2}$ .

Powróćmy znowu do wzoru na długość łuku l, jednak tym razem jednak załóżmy, że kąt na którym jest oparty łuk jest wyrażony w radianach i wynosi $α$ . Wówczas wykorzystując zależność $\alpha=\frac{2\pi \cdot \alpha_\circ}{180^\circ}$ otrzymujemy zależność:

$L=\frac{2\pi \cdot \alpha_\circ}{180^\circ} r=\alpha r$

dzieląc obustronnie przez r otrzymujemy:

$\frac{L}{r}=\alpha$

DEFINICJA

Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości łuku do długości promienia. Jest ona równa kątowi $α$ , który wyznacza ten łuk:

$\alpha=\frac{L}{r}$

Jednostką miary łukowej jest radian.

Ten drugi wzór jest o wiele łatwiejszy do zapamiętania.

Zauważmy, że miara kąta pełnego wyrażonego w stopniach wynosi $360^\circ$ , a w radianach $\frac{\pi \cdot 360^\circ}{180^\circ}\mbox{ rad}=2\pi\mbox{ rad}$ . Zatem:

$\pi\mbox{ rad}=180^\circ$
$\frac{\pi}{2}\mbox{ rad}=90^\circ$
$\frac{\pi}{4}\mbox{ rad}=45^\circ$

Aby zamienić stopnie na radiany możemy wykorzystać wcześniej wzór:

(który był przedstawiony wcześniej, lecz w nieco innej postaci).

Odwrotnie, aby zamienić radiany na stopnie wykorzystujemy wzór:

Możemy go o trzymać przekształcając poprzedni wzór.

Przykład 1 Zamieńmy miarę stopniową na miarę łukową

Wówczas możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:

2π

- $360^\circ$

x

czyli:

II sposób, wykorzystując wzór:

Przykład 2 Zamieńmy miarę łukową na miarę stopniową

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:

2π

- $360^\circ$

x

zatem:

II sposób, wykorzystując wzór:

Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

Miara kąta skierowanego na płaszczyźnie zorientowanej

DEFINICJA

Kąt skierowany - jest to uporządkowana para półprostych o wspólnym początku; pierwsza półprosta - ramię początkowe, druga półprosta - ramię końcowe.

Przykład kąta skierowanego

Ramieniem początkowym kąta $α$ jest półprosta wyróżniona na niebiesko, a ramieniem końcowym półprosta koloru czerwonego.

DEFINICJA

Płaszczyzna zorientowana - jest to taka płaszczyzna na której określono bieg dodatni dla każdego okręgu.


Przykład płaszczyzna zorientowana 1: Układ współrzędnych zorientowany dodatnio.	Przykład płaszczyzna zorientowana 2: Układ współrzędnych zorientowany ujemnie.

Kątowi skierowanemu na płaszczyźnie zorientowanej przyporządkowujemy ten kąt nieskierowany AOB (wypukły lub wklęsły) w którym leży łuk o początku w punkcie L i końcu w punkcie K, mający zwrot dodatni.

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego

DEFINICJA

{{{1}}}

Przykład 1.

Niech ramię początkowe kąta $α$ pokrywa się z dodatnią półosią OX, a ramię końcowe przechodzi przez punkt $P (3,1)$ . Wyznaczmy wartości funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens dla tego kąta. Ponieważ wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu należącego do końcowego ramienia kąta, zatem możemy wykorzystać do tego współrzędne punktu $P (3,1)$ :

Mówimy, że kąt jest w położeniu standardowym, jeśli kąt został umieszczony tak w układzie współrzędnych, że jego ramię początkowe pokrywa się z dodatnią osią OX.

Przykład 2.

Kąt $α$ znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt $P ( - 3,4)$ . Wyznaczmy $sinα$ , $cosα$ , $t g α$ , $c t g α$ .

Przykład 3.

Kąt $α$ znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt $P ( - 2, - 4)$ . Obliczmy $sinα$ , $cosα$ , $t g α$ , $c t g α$ .

$ctg \alpha={-2 \over -4}={1 \over 2}$

Własności funkcji trygonometrycznych

Znak funkcji trygonometrycznej

Funkcja	I	II	III	IV
$s i n α$	+	+	-	-
$c o s α$	+	-	-	+
$t g α$	+	-	+	-
$c t g α$	+	-	+	-

Czy wiesz, że...

Powyższe znaki funkcji trygonometrycznych można nauczyć się stosując prosty wierszyk: "W pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus".

Parzystość i nieparzystość

Funkcja $cosα$ jest parzysta, czyli zachodzi:

cosα = cos( - α)

Natomiast funkcje $sinα$ , $t g α$ i $c t g α$ są nieparzyste, czyli:

sinα = - sin( - α)

t g α = - t g ( - α)

c t g α = - c t g ( - α)

Okresowość

Dla funkcji trygonometryczny $sinα$ , $cosα$ , $t g α$ , $c t g α$ , gdzie $α$ jest dowolnym kątem, a k dowolną liczbą całkowitą, zachodzi:

$sin(k \cdot 360^\circ + \alpha)=\sin\alpha$

$cos(k \cdot 360^\circ + \alpha)=\cos\alpha$

$tg(k \cdot 180^\circ + \alpha)=tg\alpha$

$ctg(k \cdot 180^\circ + \alpha)=ctg\alpha$

Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi

$sin 2 x + cos 2 x = 1$
$tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
$ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
$tg\alpha \cdot ctg\alpha=1$

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Wykres funkcji sinus nazywa się sinusoidą, funkcji cosinus cosinusoidą, funkcji tangens tangensoidą, a funkcji cotangens cotangensoidą.

Na podstawie wykresu poszczególnych funkcji trygonometrycznych można oszacować cechy tej funkcji:

Sinusoida

$D_f=\mathbb{R}$
$ZW_f= \left \langle -1 ; 1 \right \rangle$
$T = 2\pi\$
$f (x) = 0$ dla $x = k\pi\$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
nieparzystość
okresowość

Cosinusoida

$D_f=\mathbb{R}$
$ZW_f= \left \langle -1 ; 1 \right \rangle$
$T = 2\pi\$
$f (x) = 0$ dla $x = \frac{\pi}{2}+k\pi$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
parzystość
okresowość

Tangensoida

$D_f= \mathbb{R} \backslash \{ \frac{\pi}{2} + k \pi \}$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
$ZW_f= \mathbb{R}$
$T = \pi\$
$f (x) = 0$ dla $x = k π$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
asymptoty pionowe $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
nieparzystość
okresowość

Cotangensoida

$D_f= \mathbb{R} \backslash \{ k\pi \}$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
$ZW_f= \mathbb{R}$
$T = \pi\$
$f (x) = 0$ dla $x = \frac{\pi}{2}+ k\pi$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
asymptoty pionowe $x = k π$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
nieparzystość
okresowość

Szkicowanie wykresu funkcji trygonometrycznych

Szkicowanie zaczynamy od narysowania układu współrzędnych i zaznaczenia na osi OY wartości:

w przypadku sinusa i cosinusa: od -1 do 1,
w przypadku tagensa i cotangensa od -4 do 4.

Natomiast na osi OX wartości od $- π$ do $3π$ . Zakładam, że będziesz rysował wykres na kartce w kratkę, więc zalecam byś przyjął jako jednostkę na osi Y 2 kratki. Wykonując podziałkę na osi X nanieś ją w następujący sposób:

większymi kreskami co kratkę, będą to wartości rosnące co $\frac{\pi}{6}$
mniejszymi kreskami co półtorej kratki, będą to wartości rosnące co $\frac{\pi}{4}$

Gdy mamy tak przygotowany wykres możemy przystąpić to nanoszenia punktów przez które wiemy, że funkcja będzie na pewno przechodziła (z tabeli), a następnie korzystając z wzorów redukcyjnych możemy je zaznaczyć dla dowolnego kąta.

Tak zaznaczone punkty łączymy płynną linią i gotowe.

!!! Uwaga !!! W przypadku kreślenia wykresu funkcji tangens i cotangens należy zaznaczyć asymptotę linią przerywaną.

Tożsamości trygonometryczne

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

$sin 2 α + cos 2 α = 1$

$tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

$tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$

Dowód prawdziwości $sin 2 α + cos 2 α = 1$ :

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left ( \frac{a}{c} \right )^2 + \left ( \frac{b}{c}\right )^2 = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy stwierdzić, że $\frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$ ponieważ

$a^2 + b^2 = c^2 \Big| \cdot \frac{1}{c^2}$

$\frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2}$

$\frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$

Dowód prawdziwości $tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{ \frac{a}{c} }{ \frac{b}{c} } = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b}$

Dowód prawdziwości $ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

$ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{ \frac{b}{c} }{ \frac{a}{c} } = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{b}{a}$

Dowód prawdziwości $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$

$tg\alpha \cdot ctg\alpha = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$

Pozostałe tożsamości trygonometryczne

Funkcje sumy i różnicy kątów

$\sin ( \alpha + \beta ) = \sin\alpha\cdot\cos\beta + cos\alpha\cdot\sin\beta$

$\sin ( \alpha - \beta ) = \sin\alpha\cdot\cos\beta - cos\alpha\cdot\sin\beta$

$\cos ( \alpha + \beta ) = \cos\alpha\cdot\cos\beta - sin\alpha\cdot\sin\beta$

$\cos ( \alpha - \beta ) = \cos\alpha\cdot\cos\beta + sin\alpha\cdot\sin\beta$

$tg (\alpha + \beta) = \frac{ tg\alpha + tg\beta }{ 1-tg\alpha \cdot tg\beta }$ , jeżeli $\cos\alpha \neq \; 0 \land \cos\beta \neq \; 0 \land \cos (\alpha + \beta)$

$tg (\alpha - \beta) = \frac{ tg\alpha - tg\beta }{ 1+tg\alpha \cdot tg\beta }$ , jeżeli $\cos\alpha \neq \; 0 \land \cos\beta \neq \; 0 \land \cos (\alpha + \beta)$

$ctg (\alpha + \beta) = \frac{ ctg\alpha \cdot ctg\beta - 1 }{ ctg\alpha + ctg\beta }$ , jeżeli $\sin\alpha \neq \; 0 \land \sin\beta \neq \; 0 \land \sin (\alpha + \beta)$

$ctg (\alpha - \beta) = \frac{ ctg\alpha \cdot ctg\beta + 1 }{ ctg\beta - ctg\alpha }$ , jeżeli $\sin\alpha \neq \; 0 \land \sin\beta \neq \; 0 \land \sin (\alpha + \beta)$

sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

Dla dowolnych kątów o miarach $α$ i $β$

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

funkcje kąta podwójnego

$sin2α = 2sinαcosα$

$cos2α = cos 2 α - sin 2 α$

$tg 2\alpha = \frac{ 2tg\alpha }{ 1-tg^2 \alpha }$ , jeżeli $\cos\alpha \neq \; 0 \land \cos 2\alpha \neq \; 0$

$ctg 2\alpha = \frac{ ctg^2 \alpha - 1 }{ 2ctg\alpha }$ , jeżeli $\sin 2\alpha \neq \; 0$

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne – wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego.

$sin( - α) = - sin(α)$ $cos( - α) = cos(α)$ $t g ( - α) = - t g (α)$ $c t g ( - α) = - c t g (α)$	$sin(90 - α) = cos(α)$ $cos(90 - α) = sin(α)$ $t g (90 - α) = c t g (α)$ $c t g (90 - α) = t g (α)$	$sin(90 + α) = cos(α)$ $cos(90 + α) = - sin(α)$ $t g (90 + α) = - c t g (α)$ $c t g (90 + α) = - t g (α)$
$sin(180 - α) = sin(α)$ $cos(180 - α) = - cos(α)$ $t g (180 - α) = - t g (α)$ $c t g (180 - α) = - c t g (α)$	$sin(180 + α) = - sin(α)$ $cos(180 + α) = - cos(α)$ $t g (180 + α) = t g (α)$ $c t g (180 + α) = c t g (α)$	$sin(270 - α) = - cos(α)$ $cos(270 - α) = - sin(α)$ $t g (270 - α) = c t g (α)$ $c t g (270 - α) = t g (α)$
$sin(270 + α) = - cos(α)$ $cos(270 + α) = sin(α)$ $t g (270 + α) = - c t g (α)$ $c t g (270 + α) = - t g (α)$	$sin(360 - α) = - sin(α)$ $cos(360 - α) = cos(α)$ $t g (360 - α) = - t g (α)$ $c t g (360 - α) = - c t g (α)$

Na całe szczęście nie trzeba uczyć się powyższej gigantycznej tabeli na pamięć. Wystarczy zapamiętać dwa zdroworozsądkowe fakty wynikających z niej:

gdy we wzorze redukcyjnym występuje liczba 90 lub 270 to funkcja sinus zmienia się cosinus i na odwrót, a tangens na cotangens i na odwrót
o pojawieniu się znaku minus decyduje funkcja po lewej stronie gdy w danej ćwiartce dana funkcja jest ujemna to do dopisujemy znak minus np.:
$c o s (270 + α) = s i n (α)$ – ponieważ cosinus w IV ćwiartce $(270 + α)$ jest dodatni
$c o s (90 + α) = - s i n (α)$ – ponieważ cosinus w II ćwiartce $(90 + α)$ jest ujemny
$t g (180 - α) = - t g (α)$ – ponieważ tangens w II ćwiartce $(180 - α)$ jest ujemny

Łatwo zapamiętać gdzie pojawia się znak minus używając "praktycznej poezji matematycznej":

W pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie
W drugiej tylko sinus
W trzeciej tangens i cotangens
A w czwartej cosinus

Równania trygonometryczne

Równaniem trygonometrycznym będziemy nazywać równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wyrażeniach będących argumentem funkcji trygonometrycznej. Przykładami równań trygonometrycznych mogą być: