Związki logiczne

Podstawowe związki logiczne

Zdanie w logice oznacza stwierdzenie, że jest tak a tak, bądź że nie jest tak a tak. Zdanie w sensie logicznym to zawsze tylko zdanie oznajmujące, którym można przypisać wartość logiczną prawdy lub fałszu. Weźmy jako przykład dwa zdania:

p = Kowalski jest lekarzem

q = Malinowski jest lekarzem

Zdania mogą być połączone spójnikami i mogą dzięki temu tworzyć związki logiczne. Warto sięgnąć do dobrych podręczników logiki po szczegóły (np. Kraszewski Z., Logika, PWN, Warszawa 1984, albo Ziembiński Z., Logika praktyczna, PWN, Warszawa 1994). Poniżej przedstawiono listę tych związków.

Koniunkcja p i q

Oznaczenie: p ∧ q

Przykład: Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, jeśli obaj są lekarzami. Fałsz, gdy choć jeden z nich nie jest lekarzem.

Koniunkcja jest więc prawdziwa tylko wtedy, gdy oba jej człony są (jednocześnie) prawdziwe. Na określenie koniunkcji używa się także terminów współprawdziwość lub iloczyn logiczny. W języku naturalnym oprócz spójnika i często koniunkcję wyrażają także a, oraz, lecz, ale, chociaż, mimo że, zaś. Spójniki te nie są w pełni zamienne, gdyż język naturalny wyraża nie tylko związki prawdziwościowe, ale i treściowe (które logika nie interesują). W informatyce i elektronice koniunkcję wyraża spójnik And. Niekiedy koniunkcję oznacza się p · q.

Binegacja ani p, ani q

Oznaczenie: p ↓ q

Przykład: Ani Kowalski nie jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, jeśli żaden z nich nie jest lekarzem. Fałsz, gdy choć jeden z nich jest lekarzem.

Binegacja (binegacja Peirce’a, żargonowo znana też jako strzałka Peirce’a od oznaczającego ją symbolu) jest koniunkcją negacji. Współczesny język polski wymaga tu zmiany formy czasownika na przeczącą, wyrażenia z formą twierdzącą czasownika są dziś wyraźnie przestarzałe (jak cytowane w WSPP zdanie ani chcę, ani umiem odejść od ciebie). W analizie logicznej nie wolno zapominać, że partykuła nie nie jest częścią zdania składowego. Jeśli więc p = Kowalski jest lekarzem, a q = Malinowski jest lekarzem, wówczas p ↓ q = ani Kowalski nie jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem. Czasami występują inne konstrukcje, jak nie… ani…, np. nie umiał śpiewać ani tańczyć (błędne byłoby nie… i…, np. ! nie umiał śpiewać i tańczyć), albo nie… ale też nie…, np. nie był dziś zbyt wesoły, ale też się nie smucił. Na określenie binegacji używa się także terminów współfałszywość lub negacja łączna. W informatyce i elektronice binegację wyraża spójnik Nor. Niekiedy binegację oznacza się p ⊽ q.

Uwaga: systemy logiczne często nie rozpatrują binegacji jako odrębnego związku i zastępują ją negacją alternatywy.

Alternatywa p lub q

Oznaczenie: p ∨ q

Przykład: Kowalski jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, jeśli jeden z nich jest lekarzem lub obaj są lekarzami. Fałsz, gdy żaden nie jest lekarzem.

W języku naturalnym spójnik lub nie zawsze oznacza rzeczywiście alternatywę. Mówiący czasem chcą tylko zwrócić uwagę, że prawdziwe może być albo zdanie p, albo zdanie q, i nie chcą lub nie mogą wykluczyć prawdziwości obu tych zdań jednocześnie. Dla uniknięcia niejednoznaczności należałoby więc powiedzieć na przykład lekarzem jest Kowalski, Malinowski lub obaj. Zwyczaj pisania lub/i, jak np. lekarzem jest Malinowski lub/i Kowalski nie jest natomiast godny polecenia: po pierwsze jest to wyraz niewolniczego naśladowania tradycji obcej (angielskiej), po drugie zdania takiego nie da się przecież przeczytać. Dla odróżnienia od następnych związków logicznych alternatywę nazywa się także alternatywą zwykłą, niewyłączającą, niewykluczającą lub nierozłączną. Używa się także terminów niewspółfałszywość, podprzeciwieństwo logiczne lub suma logiczna. W informatyce i elektronice alternatywę wyraża spójnik Or. Niekiedy alternatywę oznacza się p + q.

Dysjunkcja p bądź q

Oznaczenie: p | q

Przykład: Kowalski jest lekarzem bądź Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, gdy najwyżej jeden z nich jest lekarzem, to znaczy albo Kowalski, albo Malinowski, albo żaden z nich. Fałsz, gdy obaj są lekarzami

Odróżnienie dysjunkcji (zwanej też czasem dysjunkcją Sheffera, a żargonowo także kreską Sheffera) od alternatywy rozłącznej sprawia trudności autorom chyba wszystkich polskich słowników i encyklopedii. Autorzy ci niesłusznie utożsamiają oba pojęcia. Co gorsza, w źródłach anglojęzycznych (i niekompetentnie tłumaczonych z angielskiego) termin „dysjunkcja” odnosi się nawet do alternatywy zwykłej. Kłopoty leksykografów z dysjunkcją biorą się być może stąd, że trudno ją oddać w języku naturalnym. Niektórzy logicy (jak Z. Kraszewski) proponują tu pojedynczy spójnik albo, inni proponują spójnik złożony co najwyżej… albo…, który jest bardziej wyrazisty i łatwiej zrozumiały. W języku prawniczym dysjunkcję wyraża spójnik bądź… bądź… (także pojedyncze bądź), zrozumiały byłby też spójnik złożony co najwyżej… bądź… Istnieje także możliwość, aby dysjunkcję wyrazić spójnikiem może… (a) może…, np. może Kowalski jest lekarzem, a może Malinowski jest lekarzem; dla jasności odbioru znaczenia dysjunktywnego można dodać a może żaden z nich.

Na określenie dysjunkcji używa się również określeń niewspółprawdziwość lub przeciwieństwo logiczne. W informatyce i elektronice dysjunkcję wyraża spójnik Nand. Symbolem tego związku zamiast kreski prostej bywa także ukośnik: p / q. Niekiedy dysjunkcję oznacza się także p ⊼ q.

Uwaga: w wielu systemach logicznych nie rozpatruje się dysjunkcji jako odrębnego związku i zastępuje negacją koniunkcji.

Alternatywa rozłączna p albo q

Oznaczenie: p ⊻ q

Przykład: Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, gdy dokładnie jeden z nich jest lekarzem. Fałsz, gdy obaj są lekarzami. Fałsz, gdy żaden nie jest lekarzem.

W logice należy dokładnie rozróżniać spójnik lub od spójnika albo i od spójnika bądź. Każdy z nich ma inne znaczenie, a co gorsza, różni logicy proponują różne konwencje. U Ziembińskiego alternatywę rozłączną może wyrazić pojedyncze albo, za to u Kraszewskiego wymagany jest spójnik podwójny albo… albo…, podczas gdy pojedyncze albo wyraża dysjunkcję. Odróżnianie znaczenia spójnika pojedynczego od podwójnego jest jednak zdecydowanie złym pomysłem: najlepiej byłoby przyjąć, że pojedynczy i podwójny spójnik logiczny wyraża ten sam związek. Najsłuszniej zatem przyjąć, że i alternatywę rozłączną może wyrazić pojedynczy spójnik albo lub złożony albo… albo…, i taką wersję tu przyjmujemy.

Na określenie alternatywy rozłącznej używa się także terminów alternatywa wykluczająca, niezgodność logiczna, sprzeczność logiczna, kontrawalencja, różnica symetryczna lub ekskluzja. W informatyce i elektronice alternatywę rozłączną wyraża spójnik Xor, rzadziej Eor, czasem także ExOr. Ponieważ alternatywa rozłączna oznacza różną wartość logiczną zdań składowych, zapisuje się ją też czasem p ≠ q lub p ⊥ q.

A oto na czym w istocie polega różnica między alternatywą rozłączną a dysjunkcją. Alternatywa rozłączna Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem jest fałszywa, jeżeli żaden z wymienionych panów nie jest lekarzem. Natomiast dysjunkcja Kowalski jest lekarzem bądź Malinowski jest lekarzem pozostaje wówczas prawdziwa.

Choć podręczniki logiki z niejasnych powodów milczą na ten temat, alternatywa rozłączna może być nie tylko związkiem prawdziwościowym – zdarzenie opisane w jednym ze zdań składowych może bowiem być warunkiem (koniecznym i wystarczającym) niezajścia zdarzenia wyrażanego w drugim zdaniu. Wówczas zamiast spójnika albo stosuje się chyba że, np. pójdę na spacer, chyba że się rozpada. Sens takiej wypowiedzi jest następujący: albo deszcz spadnie i wówczas nieprawdą jest, że pójdę na spacer, albo też deszcz nie spadnie, ale wówczas na pewno pójdę pospacerować. Mamy tu więc rzeczywiście do czynienia z ekskluzją. Kolejności zdań nie można zmienić (bo choć logicznie oba są równoważne, to jednak nie są równoważne treściowo). Spójnik chyba że może zostać zastąpiony przez o ile nie (choć słownikarze nie słyszeli o takim użyciu tego spójnika) i taka operacja umożliwia przesunięcie zdania warunkowego (wraz ze spójnikiem) na pierwsze miejsce, choć wówczas sens przestaje być już tak przejrzysty, np. o ile się nie rozpada, pójdę na spacer. W angielskim stosuje się w tym znaczeniu spójnik unless, uważany za synonim if not. Polskie jeżeli nie powinno jednak wyrażać nieco inny związek niż o ile nie – implikację z zaprzeczonym poprzednikiem, równoważną alternatywie zwykłej, a nie rozłącznej.

Uwaga: w pewnych systemach logicznych zamiast alternatywy rozłącznej rozpatruje się negację równoważności. Dlatego właśnie używa się zapisu p ↮ q lub p ≢ q.

Równoważność p wtedy i tylko wtedy, gdy q

Oznaczenie: p ⇔ q

Przykład: Kowalski jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda. gdy obaj są lekarzami lub gdy żaden nie jest lekarzem. Fałsz, gdy lekarzem jest tylko jeden z nich.

Równoważność dwóch zdań oznacza, że mają one tę samą wartość logiczną: albo oba są prawdziwe, albo oba są fałszywe. W języku naturalnym dla wyrażenia równoważności używa się form krótszych, np. p [wtedy], gdy q, a także gdy p, [wtedy] q. W logice takich skróceń unika się z uwagi na możliwość pomieszania równoważności z implikacją (można jednak powiedzieć wtedy i tylko, gdy lub zawsze i tylko, gdy).

Gdy jedno ze zdań pozostających w związku równoważności wyraża warunek (konieczny i wystarczający) zajścia zdarzenia podanego w drugim zdaniu, wówczas używa się spójnika o ile. Mimo że takie jego użycie jest powszechne we współczesnym języku polskim, nie słyszeli o nim słownikarze. Na przykład zdanie pomogę, o ile będzie to możliwe wyraża równoważność: jeśli będzie to możliwe, to na pewno pomogę, ale jeśli nie będzie to możliwe, to na pewno nie pomogę. Kolejność zdań można zmienić (wraz ze spójnikiem), ale wówczas sens staje się mniej przejrzysty: o ile będzie to możliwe, pomogę.

Na określenie równoważności używa się także terminów ekwiwalencja, zamienność lub zgodność logiczna. Równoważność wyraża spójnik Iff, w elektronice używa się także ExNor. W źródłach polskojęzycznych używa się czasem form skróconych wtw (= wtedy i tylko wtedy) lub gddy (utworzone od gdy, analogiczne do ang. iff = if and only if). Czasem zapisuje się ją zwykłym znakiem równości p = q lub symbolem równości tożsamościowej p ≡ q.

Znak ≡ na tej witrynie oznacza identyczność logiczną czyli odpowiedniość logiczną, to jest taką samą wartość logiczną po obu stronach dla każdej możliwej wartości zmiennych. Choć identyczność często (nie zawsze) jest praktycznie równoznaczna z równoważnością logiczną, nie jest jednak właściwym związkiem logicznym, gdyż nie analizujemy wszystkich jego możliwych wartości w zależności od argumentów. Różnice między tymi pojęciami okażą się w dalszej części artykułu.

Implikacja jeżeli p, to q

Oznaczenie: p ⇒ q

Przykład: Jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, gdy obaj są lekarzami. Prawda, gdy Kowalski nie jest lekarzem, bez względu na to, czy wówczas Malinowski jest lekarzem, czy nie. Fałsz tylko wtedy, gdy Kowalski jest lekarzem, a Malinowski nim nie jest.

Implikacja (inaczej wynikanie lub podporządkowanie logiczne) jest jedynym związkiem logicznym (występującym w różnych odmianach), w którym istotna jest kolejność zdań. Implikacja jest więc związkiem nieprzemiennym, podczas gdy pozostałe związki są przemienne. W języku potocznym często nie uświadamiamy sobie tej własności implikacji, a słowo jeżeli często jest używane w zupełnie innym znaczeniu.

Zdanie następujące po jeżeli nazywa się poprzednikiem (racją), zdanie następujące po to nazywa się następnikiem (następstwem; następnik, czyli zdanie q, jest podporządkowany poprzednikowi, czyli zdaniu p; przy pozostałych związkach logicznych zwykle nie używa się tych pojęć). Implikacja nie jest odwracalna: ze zdania jeżeli p, to q nie wynika wcale, że jeżeli q, to p. Nie wolno więc zamieniać poprzednika z następnikiem. A zatem zdanie jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem nie jest równoważne podanemu przykładowi; jest to oczywiście również implikacja, którą można nazwać implikacją odwrotną względem podanej. Implikację odwrotną q ⇒ p zapisuje się też p ⇐ q. Czasami do oznaczania implikacji używa się pojedynczych strzałek (p → q, p ← q).

W sytuacji, gdy poprzednik jest fałszywy, implikacja jest prawdziwa bez względu na to, co orzeka następnik. Na przykład zdanie jeżeli będzie ładna pogoda, to Irena pójdzie na spacer jest prawdziwe w sytuacji, gdy padało, a Irena mimo to poszła się przejść. Byłoby ono także prawdziwe, gdyby Irena w wypadku ulewy pozostała w domu.

Prawdziwe jest także zdanie Jeżeli Polska leży w Azji, to Berlin jest jej stolicą. Ponieważ poprzednik jest tu fałszywy, całe stwierdzenie pozostaje prawdziwe, mimo że przecież Berlin nie jest stolicą Polski. A zatem implikacja jest prawdziwa, gdy następnik jest prawdziwy lub poprzednik fałszywy. Ta właściwość implikacji również bywa nieuświadamiana przez mówiących. Symbolicznie można ją zapisać w postaci prawa eliminacji implikacji: (p ⇒ q) ≡ (~p ∨ q).

Dodanie tylko przed spójnikiem jeżeli, gdyby, gdy (nie po nim!) zmienia kierunek implikacji. Na przykład zdanie Tylko jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem jest fałszywe, gdy Kowalski nie jest lekarzem, a Malinowski nim jest. W każdym innym wypadku jest to zdanie prawdziwe. W szczególności niczego nie możemy powiedzieć o Kowalskim, jeżeli wiemy, że Malinowski lekarzem nie jest.

Implikacja jest trudnym związkiem logicznym i często kłóci się z intuicją. Gdy następnik wpływa w jakiś sposób na zajście poprzednika (patrz też niżej), używa się zdań o postaci:

• p tylko wtedy, gdy q lub p tylko jeżeli q (implikacja prosta p ⇒ q; zwróćmy uwagę na położenie słowa tylko),
• p zawsze wtedy, gdy q lub p zawsze jeżeli q (p na pewno wtedy, gdy q; implikacja odwrotna p ⇐ q).

Obrazowo można powiedzieć, że strzałka implikacji zaczyna się od zdania składowego poprzedzonego słowem zawsze i jest skierowana w stronę zdania poprzedzonego słowem tylko. Dlatego zdanie Irena pójdzie na spacer tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda oznacza, że Irena może pozostać w domu niezależnie od pogody, ale jeśli już pójdzie na spacer, to tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda (p ⇒ q). To samo wyraża zdanie Tylko jeśli będzie ładna pogoda, Irena pójdzie na spacer (q ⇐ p). Z kolei zdanie Irena pójdzie na spacer na pewno wtedy, gdy będzie ładna pogoda oznacza, że Irena może pójść na spacer niezależnie od pogody, ale jeśli już będzie ładna pogoda, to na pewno na spacer pójdzie, a zatem implikację odwrotną (p ⇐ q). To samo wyraża nieco sztuczne zdanie Na pewno jeśli będzie ładna pogoda, to Irena pójdzie na spacer (q ⇒ p).

Jak łatwo zauważyć, jednoczesną prawdziwość implikacji prostej i odwrotnej wyrazi stwierdzenie Irena pójdzie na spacer zawsze wtedy i tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda (równoważność p ⇔ q), rzadko używane w takiej postaci w języku naturalnym. Częściej mówi się po prostu Irena pójdzie na spacer, gdy będzie ładna pogoda. Wynika stąd, że o ile spójnik warunkowy jeśli występować może (i powinien) w implikacji, o tyle spójnik czasowy gdy użyty bez dodatkowych określeń (tylko lub zawsze) wyraża równoważność, a nie implikację.

Implikację utożsamia się ze zdaniem warunkowym, co jednak nie zawsze jest prawdą. Czasem warunek (wystarczający) rzeczywiście wyrażony jest w poprzedniku, np. jeżeli w mieście funkcjonuje port rzeczny, to rzeka przepływająca przez to miasto jest spławna. Czasem warunek (konieczny) wyrażony jest w następniku, np. w organizmie występuje choroba zakaźna tylko jeśli obecny jest drobnoustrój wywołujący tę chorobę. Czasem wreszcie jest tak, że implikacja w ogóle nie zawiera warunku, np. w Poznaniu jest funkcjonujący port rzeczny, z czego wynika, że przepływająca przez miasto rzeka jest spławna.

Jak widać z podanych przykładów, w języku naturalnym jest zupełnie inaczej niż chcieliby logicy, i implikację prostą p ⇒ q wyrażają różne konstrukcje zależnie od istnienia i rodzaju warunku. I tak, implikacje z warunkiem wystarczającym (w poprzedniku) wyrażane są konstrukcjami:

• jeżeli p, to q,
• jeżeli tylko p, to q,
• gdyby p, to q,
• zawsze gdy p, to q,
• na pewno gdy p, to q,
• wystarcza p, by na pewno q.

Implikacje z warunkiem koniecznym (w następniku) wyrażane są konstrukcjami:

• p tylko jeżeli q,
• p tylko, gdy q,
• p tylko wtedy, gdy q.

Implikacje niezawierające warunku wyrażane są konstrukcjami:

• skoro p, to q,
• ponieważ p, to q,
• p, więc q,
• p, wobec tego q,
• p, zatem q,
• z tego, że p wynika, że q,
• z tego, że p wiadomo, że q,
• p przesądza o q,
• p pociąga za sobą q (zauważmy, że kierunek tego „pociągania” jest przeciwny niż kierunek strzałki będącej symbolem implikacji).

Implikację odwrotną p ⇐ q z warunkiem wystarczającym wyrażają konstrukcje:

• p, jeżeli q,
• p, jeżeli tylko q,
• p, gdyby q,
• p, gdyż q,
• p na pewno wtedy, gdy q,
• p zawsze wtedy, gdy q,
• p zawsze, jeżeli q,
• na pewno p, gdy q.

Implikację odwrotną z warunkiem koniecznym wyrażają konstrukcje:

• tylko jeżeli p, to q,
• tylko gdy p, to q,
• tylko wtedy, gdy p, to q.

Implikację odwrotną niezawierającą warunku wyrażają konstrukcje:

• p, skoro q,
• p, ponieważ q,
• p, bo q,
• to, że p, wynika z tego, że q.

Implikacjami są najczęściej obietnice (obiecuję, że jeżeli p, to q), zapewnienia (zapewniam, że jeśli p, to q), jednak wiele innych wypowiedzi typu jeżeli p, to q ma raczej charakter równoważności niż implikacji (słuszne byłoby jednak używać wówczas spójnika o ile zamiast jeżeli). W intuicyjnym rozumieniu implikacja oznacza raczej związek przyczynowo-skutkowy, dlatego zdanie z tego, że księżyc jest z sera wynika, że Warszawa jest stolicą Francji jest (prawdziwą!) implikacją w sensie logicznym, ale nie w sensie intuicyjnym. Domagamy się także niekiedy, aby zaistnienie poprzednika następowało przed zaistnieniem następnika (np. jeżeli Maria przyjedzie, pójdę z nią do parku), lub przynajmniej aby trwanie sytuacji opisanej w poprzedniku zaczęło się wcześniej niż zajście następnika (np. jeżeli będzie ładna pogoda, pójdę z Marią do parku). Jednak dla tzw. implikacji materialnej, a więc w sensie używanym w logice, nie stawia się takich warunków. Dlatego np. zdanie jeżeli pójdę z Marią do parku, to ona przyjedzie jest logicznie zupełnie poprawne, choć sprawia wrażenie językowego absurdu. W języku naturalnym powiedzielibyśmy zapewne jeżeli pójdę z Marią do parku, to będzie oznaczało, że ona przyjechała, albo też pójdę z Marią do parku tylko wtedy, gdy przyjedzie.

Uwaga: oprócz implikacji prostej (jeżeli p, to q), zwanej także ekstensywną, oraz implikacji odwrotnej (jeżeli q, to p), zwanej także intensywną, rozpatruje się także implikację przeciwną (jeżeli nie p, to nie q) oraz implikację przeciwstawną (jeżeli nie q, to nie p). Implikacja przeciwna odpowiada implikacji odwrotnej, zaś implikacja przeciwstawna implikacji prostej. O związkach tych będzie mowa poniżej.

Zebranie wartości związków logicznych

p	q	p ∧ q	p ↓ q	p ∨ q	p | q	p ⊻ q	p ⇔ q	p ⇒ q	p ⇐ q	p ↛ q	p ↚ q
1	1	1	0	1	0	0	1	1	1	0	0
1	0	0	0	1	1	1	0	0	1	1	0
0	1	0	0	1	1	1	0	1	0	0	1
0	0	0	1	0	1	0	1	1	1	0	0

(1 – prawda, 0 – fałsz)

Podane w tabeli związki międzyzdaniowe stanowią 10 spośród 16 możliwych zestawień prawdy i fałszu. Układy te można opisać w postaci liczb binarnych 1000, 0001, 1110, 0111, 0110, 1001, 1011, 1101, 0100 i 0010 (por. z zawartością tabeli). W logice nie rozpatruje się związków, których wartość logiczna nie zależy od wartości zdań składowych p i q (a więc związków 1111 i 0000). Nie rozpatruje się także związków o wartości niezależnej od wartości jednego ze zdań składowych (a więc związków 1100, 0011, 1010, 0101). Tym sposobem z możliwych 16 układów pozostaje tylko 10. O zaprzeczeniu implikacji prostej (p ↛ q) i odwrotnej (p ↚ q) będzie mowa poniżej.

O przygodach pani Marii

Pani Maria jest osobą niezwykle prawdomówną, ponadto wypowiada zdania, ściśle przestrzegając znaczenia spójników. Właśnie wracała do domu, gdy została zagadnięta przez swojego sąsiada, pana Jana. Pan Jan zadał jej pytanie, skąd wraca. Czego dowiedział się pan Jan w sytuacji, gdy pani Maria odpowiedziała:

• Odwiedziłam Marka i Pawła – Z tego jednoznacznego zdania wynika, że pani Maria była u obu tych panów. Zauważmy, że w języku naturalnym wypowiedź taka sugeruje, że pani Maria najpierw odwiedziła Marka, potem Pawła. W logice takie następstwo jest niekonieczne: pani Maria mogła w rzeczywistości najpierw odwiedzić Pawła, a nawet odwiedzić obu panów jednocześnie (mogła zastać ich razem).
• Nie odwiedziłam ani Marka, ani Pawła – Taka wypowiedź pani Marii również jest jednoznaczna. Wynika z niej, że nie odwiedziła Marka, ale też i nie odwiedziła Pawła.
• Odwiedziłam Marka lub Pawła – Ze zdania tego wynika tylko tyle, że pani Maria wraca od któregoś z tych panów. Pan Jan jednak nie wie, czy od Marka, czy od Pawła, czy też może pani Maria odwiedziła obu tych panów. Spójnik lub w logice wskazuje, że mogły zajść obie możliwości. W języku naturalnym czasem nie jest to wcale oczywiste.
• Odwiedziłam Marka bądź Pawła – Pan Jan dowiedział się tylko tego, że pani Maria nie była u obu tych panów. Nie wie jednak, u którego z nich była, nie wie nawet, czy w ogóle była u któregokolwiek.
• odwiedziłam Marka albo Pawła – Tym razem pan Jan dowiedział się, że pani Maria odwiedziła jednego z tych panów. Dowiedział się również, że tylko jednego z nich, choć nie wie, którego. W języku naturalnym czasem miesza się tę sytuację z poprzednią.
• Odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, jeśli odwiedziłam Pawła – Zdanie to brzmi raczej nienaturalnie, ale pan Jan zna panią Marię, więc nie jest zdziwiony jej odpowiedzią. Tym razem dowiaduje się, że pani Maria była u obu wymienionych panów, ale mogła też nie być u żadnego z nich. Nie było więc tak, że odwiedziła tylko jednego.
• Jeżeli odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła – Tym razem pan Jan dowiedział się jedynie tego, że nie było tak, że pani Maria była tylko u Marka. Jej odpowiedź nie informuje w ogóle, czy była u Marka. Ponadto, pani Maria mogła być tylko u Pawła, mogła też nie być u żadnego z tych panów.

Analiza wypowiedzi w języku naturalnym

Częstym zjawiskiem w języku naturalnym jest elipsa – pominięcie powtarzających się lub domyślnych fragmentów wypowiedzi. Przykłady widzieliśmy w wypowiedziach pani Marii. Na przykład jej stwierdzenie odwiedziłam Marka albo Pawła znaczy tyle, co albo odwiedziłam Marka, albo odwiedziłam Pawła.

W języku naturalnym spory problem stwarzają implikacje i równoważności, które często miesza się ze sobą, co oczywiście nie jest dopuszczalne w logice. Zwróćmy w szczególności uwagę, że umieszczenie zdania warunkowego na drugim miejscu nadaje całości inne znaczenie: wypowiedź odwiedziłam Pawła, jeżeli odwiedziłam Marka byłaby zapewne zrozumiana tak, że albo pani Maria była u obu tych panów, albo u żadnego z nich (czyli jako równoważność, a nie implikacja). W rzeczywistości różnica między oboma związkami jest zachowana: na implikację wskazuje konstrukcja jeżeli… to…, natomiast na równoważność sam spójnik jeżeli. Dla logika różnica ta jest za mała i grozi omyłką. Dlatego oba człony równoważności łączy się przy pomocy nienaturalnego wtedy i tylko wtedy, gdy. Język naturalny jest bardziej zwięzły, ale też możliwość nieporozumienia jest większa.

Na przykład, zdanie jeżeli będzie padać, to zostanę w domu informuje tylko, co się stanie w razie niepogody. Nie wiadomo natomiast, co się wydarzy, jeśli będzie ładna pogoda. Zdanie to jest zatem implikacją, choć w praktyce okazuje się, że wielu ludzi i tak nada mu znaczenie równoważności. Za to zdanie zostanę w domu, jeżeli będzie padać jest już powszechnie rozumiane jako równoważność: ładna pogoda oznaczać będzie pójście na spacer, a deszcz – pozostanie w domu.

Często jest też tak, że równoważność logiczna pozbawiona jest w języku naturalnym jakiegokolwiek spójnika. Dzieje się tak często w tzw. stwierdzeniach ogólnych, także jeśli dotyczą one obszaru nauki. Na przykład zdanie ciało, na które działa stała siła, porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym rozumiane jest jako równoważność, choć nie ma tu ani ścisłego „wtedy i tylko wtedy”, ani nawet potocznego „jeżeli”.

Związek przyczynowo-skutkowy a związki logiczne

Zależność między związkiem przyczynowo-skutkowym a związkiem warunkowym może być rozmaita. Czasami bywa tak, że zaistnienie faktu p powoduje automatycznie zaistnienie faktu q. Zdarzenie, które miało miejsce wcześniej, lub też stwierdzony wcześniej fakt, jest warunkiem wystarczającym albo dostatecznym zdarzenia późniejszego, albo faktu dotąd wprost niestwierdzonego. Używając terminów logicznych powiemy w tym wypadku, że poprzednik p jest warunkiem wystarczającym następnika q: p ⇒ q (implikacja prosta czyli implikacja ekstensywna). Zauważmy też, że z faktu niezajścia zdarzenia q możemy wnioskować o niezajściu zdarzenia będącego jego warunkiem wystarczającym: ~p ⇐ ~q (implikacja przeciwstawna). Związek zawierający warunek wystarczający (krótko: związek wystarczający) jest więc szczególnym przypadkiem implikacji. Przykłady warunków wystarczających:

• obecność funkcjonującego portu rzecznego w mieście X jest warunkiem wystarczającym, by uznać rzekę w tym mieście za spławną,
• zniszczenie samolotu bojowego na lotnisku jest warunkiem wystarczającym, by nie wykonał on swojej misji,
• ciało pokryte włosami jest warunkiem wystarczającym zaliczenia współcześnie żyjącego zwierzęcia do ssaków,
• brak występowania środka, osi lub płaszczyzny symetrii danego obiektu jest warunkiem wystarczającym jego chiralności,
• podzielność danej liczby przez 10 jest warunkiem wystarczającym, aby liczba ta była również podzielna przez 5,
• zerowa wartość pierwszej pochodnej i ujemna drugiej pochodnej to warunek wystarczający istnienia maksimum funkcji w badanym punkcie.

Zauważmy, że warunek wystarczający p nie zawsze musi być spełniony, a mimo to zdarzenie q i tak zajdzie. Rzeka może być spławna mimo braku portu rzecznego. Samolot może nie wykonać swojej misji także wskutek wielu innych zdarzeń, choćby złych warunków pogodowych. Walenie są ssakami, a mimo to są bezwłose. Istnieją chiralne obiekty, posiadające dwukrotną oś symetrii (zob. tutaj). Liczba 15 jest podzielna przez 5, ale nie przez 10. Istnienie maksimum funkcji w danym punkcie nie oznacza jeszcze, że funkcja w ogóle ma w tym punkcie pierwszą i drugą pochodną.

Czasami bywa jednak tak, że zaistnienie faktu p nie powoduje wcale automatycznego zaistnienia faktu q, jednak fakt p jest warunkiem koniecznym albo niezbędnym (warunkiem sine qua non) faktu q. Gdyby bowiem fakt p nie zaszedł, fakt q również na pewno nie zajdzie: ~p ⇒ ~q (implikacja przeciwna). To samo możemy także zapisać w innej postaci: p ⇐ q (implikacja odwrotna czyli implikacja intensywna). Zwróćmy uwagę, że warunek konieczny p poprzedzający w czasie zajście zdarzenia q jest następnikiem implikacji. Przykłady warunków koniecznych:

• obecność danego drobnoustroju w organizmie jest warunkiem koniecznym wystąpienia choroby zakaźnej przezeń wywoływanej,
• współczucie jest warunkiem koniecznym miłosierdzia,
• zdanie matury jest koniecznym warunkiem przystąpienia do wyższych studiów,
• dostępność kodu źródłowego jest warunkiem koniecznym uznania oprogramowania za wolne,
• występowanie kręgosłupa jest warunkiem koniecznym zaliczenia danego zwierzęcia do ssaków,
• 0 lub 5 będące ostatnią cyfrą danej liczby to warunek konieczny, aby liczba ta była podzielna przez 15,
• zerowa wartość pierwszej pochodnej jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum różniczkowalnej funkcji w badanym punkcie.

Zauważmy, że zajście warunku koniecznego p nie musi powodować zajścia zdarzenia q. Sama obecność drobnoustroju nie zawsze musi powodować rozwój choroby. Współczucie wcale nie musi zrodzić miłosierdzia. Pomimo zdania matury można przecież nie pójść na studia. Bywa czasem, że pomimo udostępnienia kodu źródłowego autor zabrania rozpowszechniania napisanego przez siebie programu bez ograniczeń – takiego oprogramowania nie uważa się za wolne. Kręgosłup występuje nie tylko u ssaków, ale również u ptaków, gadów, płazów czy ryb. Liczba 20 ma cyfrę 0 na ostatniej pozycji, a mimo to nie jest podzielna przez 15. Zerowa wartość pochodnej może wystąpić także w punkcie przegięcia.

konieczny i wystarczający ⇔ konieczny i wystarczający

Wreszcie trzecia i ostatnia możliwość jest wówczas, gdy zaistnienie faktu p jest warunkiem koniecznym i wystarczającym faktu q. Na przykład cecha krytyczna stanowi warunek konieczny i wystarczający do zaliczenia jakiegoś pojęcia do danej kategorii. O warunku wystarczającym i koniecznym mówimy także, gdy zajście zdarzenia p pociągnie za sobą zajście zdarzenia q, a zajście zdarzenia q musiało być spowodowane uprzednim zajściem zdarzenia p. Używając terminów logicznych powiemy, że zachodzi równoważność p ⇔ q.

• to, że Elżbieta jest siostrą Michała, jest warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby Michał był bratem Elżbiety,
• akceptowanie siebie i bycie akceptowanym przez innych to warunek konieczny i wystarczający szczęśliwego życia,
• niewiara w boga lub w bogów to warunek niezbędny i dostateczny, aby nazwać kogoś ateistą,
• ciało pokryte piórami jest warunkiem wystarczającym i niezbędnym, aby badane współcześnie żyjące zwierzę zaliczyć do ptaków,
• nieposiadanie przez obiekt ani inwersyjnej osi symetrii, ani płaszczyzny symetrii jest warunkiem wystarczającym i koniecznym chiralności,
• Księżyc znajdujący się na prostej łączącej naziemnego obserwatora ze Słońcem to warunek wystarczający i konieczny zaćmienia Słońca,
• posiadanie 4 równych boków i 4 równych kątów to warunek konieczny i dostateczny, aby uznać czworokąt za kwadrat.

Negacja

Oznaczenie: negację (zaprzeczenie) zdania p oznaczamy ~p lub ¬p.

W przeciwieństwie do wyżej omówionych związków dwóch zdań, negacja jest działaniem jednoargumentowym. Negacja zdania p ma wartość logiczną prawdy, gdy zdanie p jest fałszywe, i fałszu, gdy zdanie p jest prawdziwe. Inaczej mówiąc, negacja zmienia wartość logiczną zdania na przeciwną. Negacja może przyjąć postać nieprawda, że, np. Nieprawda, że Kowalski jest lekarzem. W języku naturalnym istnieją możliwości wyrażenia negacji w krótszy sposób: Kowalski nie jest lekarzem.

Jeżeli rozpatrzymy dane zdanie i jego negację, zawsze jedno z nich jest prawdziwe, a drugie fałszywe: p ∨ ~p (zasada tertium non datur, prawo wyłączonego środka). Prostym wnioskiem z tej zasady jest prawo sprzeczności, w myśl którego nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zaprzeczenie: ~(p ∧ ~p). W wyniku złożenia dwóch negacji otrzymujemy zdanie wyjściowe: ~~p ≡ p (prawo podwójnego przeczenia, prawo podwójnej negacji).

Negacje związków logicznych

Negacja koniunkcji dwóch zdań odpowiada dysjunkcji tychże zdań: ~(p ∧ q) ≡ (p | q). A zatem zamiast nieprawda, że Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem możemy powiedzieć także: Kowalski jest lekarzem bądź Malinowski jest lekarzem. Podobnie zdanie nieprawda, że odwiedziłam Marka i Pawła odpowiada zdaniu odwiedziłam Marka bądź Pawła.

Uwaga: prawdą jest też, że zaprzeczenie koniunkcji odpowiada alternatywie zaprzeczeń: ~(p ∧ q) ≡ (~p ∨ ~q). Równoważność ta znana jest jako pierwsze prawo de Morgana.

Negacja binegacji dwóch zdań odpowiada alternatywie tychże zdań: ~(p ↓ q) ≡ (p ∨ q). A zatem zamiast nieprawda, że ani Kowalski nie jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem możemy powiedzieć także: Kowalski jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem. Podobnie zdanie nieprawda, że nie odwiedziłam ani Marka, ani Pawła odpowiada zdaniu odwiedziłam Marka lub Pawła.

Negacja alternatywy dwóch zdań odpowiada binegacji tychże zdań: ~(p ∨ q) ≡ (p ↓ q). A zatem zamiast nieprawda, że Kowalski jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem możemy powiedzieć także: ani Kowalski nie jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem. Podobnie zdanie nieprawda, że odwiedziłam Marka lub Pawła odpowiada zdaniu nie odwiedziłam ani Marka, ani Pawła.

Uwaga: prawdą jest też, że zaprzeczenie alternatywy odpowiada koniunkcji zaprzeczeń: ~(p ∨ q) ≡ (~p ∧ ~q). Równoważność ta znana jest jako drugie prawo de Morgana.

Negacja dysjunkcji dwóch zdań odpowiada koniunkcji tychże zdań: ~(p | q) ≡ (p ∧ q). A zatem zamiast nieprawda, że bądź Kowalski jest lekarzem, bądź Malinowski jest lekarzem możemy powiedzieć także: Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem. Podobnie zdanie nieprawda, że odwiedziłam bądź Marka, bądź Pawła odpowiada zdaniu odwiedziłam Marka i Pawła.

Negacja alternatywy rozłącznej dwóch zdań odpowiada równoważności tychże zdań: ~(p ⊻ q) ≡ (p ⇔ q). A zatem zamiast nieprawda, że albo Kowalski jest lekarzem, albo Malinowski jest lekarzem możemy powiedzieć także: Kowalski jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski jest lekarzem. Podobnie zdanie nieprawda, że odwiedziłam Marka albo Pawła odpowiada zdaniu odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, gdy odwiedziłam Pawła.

Negacja równoważności dwóch zdań odpowiada alternatywie rozłącznej tychże zdań: ~(p ⇔ q) ≡ (p ⊻ q). A zatem zamiast nieprawda, że Kowalski jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski jest lekarzem możemy powiedzieć także: Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem. Podobnie zdanie nieprawda, że odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, gdy odwiedziłam Pawła odpowiada zdaniu odwiedziłam Marka albo Pawła.

Uwaga: zaprzeczenie równoważności odpowiada alternatywie zaprzeczeń implikacji prostej i odwrotnej: ~(p ⇔ q) ≡ (~(p ⇒ q) ∨ ~(q ⇒ p)). Można to również zapisać w postaci ~(p ⇔ q) ≡ ((p ↛ q) ∨ (p ↚ q)).

Negacja implikacji ~(p ⇒ q) nie odpowiada żadnemu z wymienionych związków międzyzdaniowych i można ją zapisać p ↛ q. Negacją implikacji jest np. zdanie nieprawda, że jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem. Zdanie to jest prawdziwe tylko wtedy, gdy Kowalski jest lekarzem, a Malinowski nim nie jest, a więc jego wartość logiczną w zależności od wartości zdań składowych opisuje liczba binarna 0100. Innym przykładem negacji implikacji jest zdanie nieprawda, że jeżeli odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła. Zdanie to jest prawdziwe tylko wtedy, gdy osoba mówiąca odwiedziła Marka, a nie odwiedziła Pawła. W języku naturalnym najczęściej nie zauważa się tej własności negacji implikacji. Liczba binarna 0010 opisuje wartość logiczną negacji implikacji odwrotnej ~(p ⇐ q), którą można zapisać też p ↚ q.

Uwaga: zaprzeczenie implikacji odpowiada koniunkcji pierwszego zdania i zaprzeczenia drugiego zdania: ~(p ⇒ q) ≡ (p ∧ ~q). Zaprzeczenie implikacji odwrotnej odpowiada koniunkcji zaprzeczenia pierwszego zdania i drugiego zdania: ~(p ⇐ q) ≡ (~p ∧ q).

Związki logiczne zawierające negacje zdań

Koniunkcja ~p ∧ q odpowiada negacji implikacji odwrotnej ~(p ⇐ q), którą można też zapisać p ↚ q lub ~(q ⇒ p). A zatem zdanie nieprawda, że Kowalski jest lekarzem, a Malinowski jest lekarzem (w języku naturalnym najczęściej: Kowalski nie jest lekarzem, a Malinowski jest) odpowiada zdaniu nieprawda, że jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem. Podobnie nie odwiedziłam Marka, ale odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co nieprawda, że jeżeli odwiedziłam Pawła, to odwiedziłam Marka.

Koniunkcja p ∧ ~q odpowiada negacji implikacji ~(p ⇒ q), którą można też zapisać p ↛ q. A zatem zdanie Kowalski jest lekarzem i nieprawda, że Malinowski jest lekarzem (w języku naturalnym najczęściej: Kowalski jest lekarzem, a Malinowski nie) odpowiada zdaniu nieprawda, że jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem. Podobnie odwiedziłam Marka, ale nie Pawła znaczy tyle, co nieprawda, że jeżeli odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła.

Koniunkcja negacji ~p ∧ ~q odpowiada binegacji p ↓ q. A zatem zdanie nieprawda, że Kowalski jest lekarzem i nieprawda, że Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu ani Kowalski nie jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem. Podobnie nie odwiedziłam Marka i nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co nie odwiedziłam ani Marka, ani Pawła.

Binegacja ~p ↓ q odpowiada negacji implikacji ~(p ⇒ q). A zatem zdanie ani nieprawda, że Kowalski jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem odpowiada zdaniu nieprawda, że jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem. Podobnie ani nieprawda, że odwiedziłam Marka, ani nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co nieprawda, że jeżeli odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła.

Binegacja p ↓ ~q odpowiada negacji implikacji odwrotnej ~(p ⇐ q), którą można też zapisać ~(q ⇒ p). A zatem zdanie ani Kowalski nie jest lekarzem, ani nieprawda, że Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu nieprawda, że jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem. Podobnie ani nie odwiedziłam Marka, ani nieprawda, że odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co nieprawda, że jeżeli odwiedziłam Pawła, to odwiedziłam Marka.

Binegacja negacji ~p ↓ ~q odpowiada koniunkcji p ∧ q. A zatem zdanie ani nieprawda, że Kowalski nie jest lekarzem, ani nieprawda, że Malinowski nie jest lekarzem odpowiada zdaniu Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem. Podobnie ani nieprawda, że nie odwiedziłam Marka, ani nieprawda, że nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co odwiedziłam Marka i Pawła.

Alternatywa ~p ∨ q odpowiada implikacji p ⇒ q. A zatem zdanie nieprawda, że Kowalski jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem. Podobnie nie odwiedziłam Marka lub odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co jeżeli odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła. A zatem implikacja jest prawdziwa, gdy następnik jest prawdziwy lub poprzednik fałszywy: (p ⇒ q) ≡ (~p ∨ q). Prawo to sprowadza się do eliminacji implikacji (każdą implikację można zastąpić odpowiednią alternatywą).

Alternatywa p ∨ ~q odpowiada implikacji odwrotnej p ⇐ q, którą można też zapisać q ⇒ p. A zatem zdanie Kowalski jest lekarzem lub nieprawda, że Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem. Podobnie odwiedziłam Marka lub nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co jeżeli odwiedziłam Pawła, to odwiedziłam Marka.

Alternatywa negacji ~p ∨ ~q odpowiada dysjunkcji p | q. A zatem zdanie nieprawda, że Kowalski jest lekarzem lub nieprawda, że Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu Kowalski jest lekarzem bądź Malinowski jest lekarzem. Podobnie nie odwiedziłam Marka lub nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co odwiedziłam Marka bądź Pawła.

Dysjunkcja ~p | q odpowiada implikacji odwrotnej p ⇐ q, którą można też zapisać q ⇒ p. A zatem zdanie bądź nieprawda, że Kowalski jest lekarzem, bądź Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem. Podobnie bądź nie odwiedziłam Marka, bądź odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co jeżeli odwiedziłam Pawła, to odwiedziłam Marka.

Dysjunkcja p | ~q odpowiada implikacji p ⇒ q. A zatem zdanie bądź Kowalski jest lekarzem, bądź nieprawda, że Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem. Podobnie bądź odwiedziłam Marka, bądź nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co jeżeli odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła.

Dysjunkcja negacji ~p | ~q odpowiada alternatywie p ∨ q. A zatem zdanie bądź nieprawda, że Kowalski jest lekarzem, bądź nieprawda, że Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu Kowalski jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem. Podobnie bądź nie odwiedziłam Marka, bądź nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co odwiedziłam Marka lub Pawła.

Alternatywa rozłączna ~p ⊻ q odpowiada alternatywie rozłącznej p ⊻ ~q, odpowiada negacji alternatywy rozłącznej ~(p ⊻ q) (zob. wyżej) i odpowiada równoważności p ⇔ q. A zatem zdanie albo nieprawda, że Kowalski jest lekarzem, albo Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu albo Kowalski jest lekarzem, albo nieprawda, że Malinowski jest lekarzem i jest także równoważne zdaniu Kowalski jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski jest lekarzem. Podobnie albo nie odwiedziłam Marka, albo odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co albo odwiedziłam Marka, albo nie odwiedziłam Pawła i tyle, co odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, gdy odwiedziłam Pawła.

Alternatywa rozłączna negacji ~p ⊻ ~q odpowiada alternatywie rozłącznej p ⊻ q. A zatem zdanie albo nieprawda, że Kowalski jest lekarzem, albo nieprawda, że Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem. Podobnie albo nie odwiedziłam Marka, albo Pawła znaczy tyle, co odwiedziłam Marka albo Pawła.

Równoważność ~p ⇔ q odpowiada równoważności p ⇔ ~q, odpowiada negacji równoważności ~(p ⇔ q) (zob. wyżej) i odpowiada alternatywie rozłącznej p ⊻ q. A zatem zdanie Kowalski nie jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu Kowalski jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski nie jest lekarzem i jest także równoważne zdaniu Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem. Podobnie nie odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, gdy odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, gdy odwiedziłam Pawła i tyle, co odwiedziłam Marka albo Pawła.

Równoważność negacji ~p ⇔ ~q odpowiada równoważności p ⇔ q. A zatem zdanie Kowalski nie jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski nie jest lekarzem odpowiada zdaniu Kowalski jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski jest lekarzem. Podobnie nie odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, gdy nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, gdy odwiedziłam Pawła.

Implikacja ~p ⇒ q odpowiada implikacji odwrotnej p ⇐ ~q (z zaprzeczenia zdania wynika drugie zdanie, gdy z zaprzeczenia drugiego wynika pierwsze) i odpowiada alternatywie p ∨ q. A zatem zdanie jeżeli Kowalski nie jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Malinowski nie jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem i zdaniu Kowalski jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem. Podobnie jeżeli nie odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co jeżeli nie odwiedziłam Pawła, to odwiedziłam Marka i tyle, co odwiedziłam Marka lub Pawła.

Implikacja p ⇒ ~q odpowiada implikacja odwrotnej ~p ⇐ q (z jednego zdania wynika zaprzeczenie drugiego, gdy z drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego) i odpowiada dysjunkcji p | q. A zatem zdanie jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski nie jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski nie jest lekarzem i zdaniu Kowalski jest lekarzem bądź Malinowski jest lekarzem. Podobnie zdanie jeżeli odwiedziłam Marka, to nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co jeżeli odwiedziłam Pawła, to nie odwiedziłam Marka i tyle, co zdanie odwiedziłam Marka bądź Pawła.

Implikacja negacji ~p ⇒ ~q (implikacja przeciwna) odpowiada implikacji odwrotnej p ⇐ q. A zatem zdanie jeżeli Kowalski nie jest lekarzem, to Malinowski nie jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem. Podobnie zdanie jeżeli nie odwiedziłam Marka, to nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co jeżeli odwiedziłam Pawła, to odwiedziłam Marka.

Implikacja odwrotna negacji ~p ⇐ ~q (implikacja przeciwstawna) odpowiada implikacji p ⇒ q. A zatem zdanie jeżeli Malinowski nie jest lekarzem, to Kowalski nie jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem. Podobnie zdanie jeżeli nie odwiedziłam Pawła, to nie odwiedziłam Marka znaczy tyle, co jeżeli odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła.

Podane wyżej prawidła można zebrać w następującej tabeli:

p R q	p ∧ q	p ↓ q	p ∨ q	p | q	p ⊻ q	p ⇔ q	p ⇒ q	p ⇐ q
~(p R q)	p | q	p ∨ q	p ↓ q	p ∧ q	p ⇔ q	p ⊻ q	p ↛ q	p ↚ q
	~p ∨ ~q	~p | ~q	~p ∧ ~q	~p ↓ ~q	~p ⇔ ~q	~p ⊻ ~q	p ∧ ~q	~p ∧ q
~p R q	p ↚ q	p ↛ q	p ⇒ q	p ⇐ q	p ⇔ q	p ⊻ q	p ∨ q	p | q
p R ~q	p ↛ q	p ↚ q	p ⇐ q	p ⇒ q	p ⇔ q	p ⊻ q	p | q	p ∨ q
~p R ~q	p ↓ q	p ∧ q	p | q	p ∨ q	p ⊻ q	p ⇔ q	p ⇐ q	p ⇒ q

R oznacza tu relację logiczną (związek logiczny; zastępuje jeden z symboli ∧, ↓, ∨, ⊻, |, ⇔, ⇒, ⇐).

Ośmiokąt negacji

Przedstawiony poniżej schemat jest oryginalnym pomysłem autora tego artykułu, mającym na celu ułatwienie korzystania z reguł negacji.

 

Zaprezentowany tu schemat można łatwo odtworzyć, opierając się na mnemotechnicznych skojarzeniach. W ośmiokącie należy wyróżnić pionowy prostokąt związków przemiennych oraz poziomy prostokąt implikacji. W linii górnej pierwszego prostokąta umieszczono znane ze szkoły średniej związki: koniunkcję i alternatywę, w linii dolnej związki nieznane z lekcji matematyki w liceum: dysjunkcję i binegację. Rozmieszczenie tych związków podlega prostej zasadzie: u góry po lewej mamy symbol skierowany ostrzem w górę (koniunkcja), po prawej ostrzem w dół (alternatywa). Pytamy zwykle „góra czy dół”, a nie odwrotnie, i w takiej też kolejności rozmieszczono oba symbole. Pomocne są także angielskie wyrazy używane zamiast odpowiednich symboli. Umieszczamy je na schemacie w kolejności alfabetycznej: And z lewej, Or z prawej. Symbol binegacji (strzałka skierowana w dół) umieszczony jest pod symbolem alternatywy, którego ostrze również skierowane jest w dół.

Rozmieszczenie związków w prostokącie implikacji można również łatwo zapamiętać: prosta implikacja (strzałka w prawo) znajduje się po prawej stronie u góry, tuż obok znanych ze szkoły związków (koniunkcji i alternatywy). Zaprzeczenie prostej implikacji symbolizuje przekreślona strzałka skierowana w prawo, i związek ten umieszczono również po prawej stronie schematu, pod implikacją prostą. Implikacja odwrotna znajduje się w przeciwległym rogu poziomego prostokąta. Implikacja nie jest związkiem przemiennym, i z faktem tym można skojarzyć takie krzyżowe, niesymetryczne ułożenie symboli na schemacie (tzn. bez symetrii względem pionowej osi schematu).

Po odtworzeniu ośmiokąta zgodnie z podanymi powyżej skojarzeniami, możemy przystąpić do korzystania z niego. Po pierwsze, zapamiętajmy, że kierunek pionowy oznacza zwykłą negację. Najprościej zauważyć to, patrząc na symbole implikacji. Przecież p ↛ q oznacza to samo, co ~(p ⇒ q). Analogicznie odczytamy, że zamiast ~(p ∧ q) możemy napisać p | q, a zamiast ~(p ∨ q) możemy napisać p ↓ q. Naturalnie, negować możemy również związek znajdujący się w dolnej części schematu, otrzymując związek umieszczony bezpośrednio nad negowanym. I tak, negację implikacji odwrotnej ~(p ⇐ q) możemy zapisać jako p ↚ q, analogicznie ~(p | q) to po prostu p ∧ q, zaś ~(p ↓ q) odpowiada zapisowi p ∨ q.

Po drugie, linie poziome wyznaczają prawa de Morgana i podobne do nich zależności, które możemy określić jako rozdzielność negacji. A zatem ~(p ∧ q) równoważne jest ~p ∨ ~q, zaś ~(p ∨ q) odpowiada ~p ∧ ~q. Podobnie odczytujemy, że np. ~(p ⇒ q) odpowiada ~p ↚ ~q, a ~(p | q) odpowiada ~p ↓ ~q.

Po trzecie, możemy przerzucić negację jednego ze zdań składowych na drugie, używając linii przekątnych każdego z prostokątów schematu. I tak, zamiast ~p ∧ q wolno nam napisać p ↓ ~q, a zamiast p ⇒ ~q zapiszemy równoważny związek ~p ⇐ q.

Ta sama metoda przekątnych służy do usuwania negacji obu argumentów. Odczytujemy tym sposobem, że ~p ⇒ ~q to nic innego jak p ⇐ q. Metody tej możemy też użyć odwrotnie, wprowadzając negację. Nieznana ze szkoły średniej binegacja staje się tym sposobem koniunkcją zaprzeczeń: p ↓ q oznacza to samo, co ~p ∧ ~q.

Po czwarte, możemy usunąć negację pierwszego z argumentów związku, korzystając ze skośnych boków ośmiokąta. Na przykład ~p ∨ q odpowiada implikacji p ⇒ q, a zamiast ~p ⇐ q możemy napisać p | q. Naturalnie prawdą jest także, że ~p ⇒ ~q odpowiada p ∨ ~q (usuwamy negację przy pierwszym argumencie, przy drugim negacja pozostaje). Dzięki tej metodzie możemy też wprowadzić przeczenie przy pierwszym zdaniu składowym, np. eliminując implikację: p ⇒ q to nic innego jak tylko ~p ∨ q.

Usuwanie negacji drugiego z argumentów związku jest także możliwe, jednak wymaga dwóch „operacji”: „skoku” po przekątnej i „ślizgu” po ukośnym boku. Np. chcąc usunąć negację z p ⇐ ~q najpierw poruszamy się po przekątnej (do zwykłej implikacji ~p ⇒ q), a następnie wzdłuż skośnego boku ośmiokąta do alternatywy p ∨ q.

Dzięki tym pięciu sposobom, ośmiokąt negacji całkowicie zastępuje tabelę negacji podaną powyżej. Możemy go zresztą użyć i do innych celów. Np. gdy ktoś zapomni „szkolnego” prawa zaprzeczenia implikacji (czemu odpowiada ~(p ⇒ q)?), może je otrzymać, jeśli pamięta, że reguły odnoszące się do koniunkcji i implikacji (prawa de Morgana) można odczytać korzystając z metody drugiej (linie poziome). Najpierw analogicznie rozdzielmy więc negację na argumenty (linia pozioma): ~(p ⇒ q) ≡ (~p ↚ ~q). Jednak otrzymany związek nie należy do „szkolnych”. Aby się go pozbyć, użyjmy metody czwartej (skośne boki), likwidując negację przy pierwszym argumencie: (~p ↚ ~q) ≡ (p ∧ ~q). Tym sposobem otrzymujemy znane prawo, głoszące, że zaprzeczeniem implikacji jest koniunkcja poprzednika i zaprzeczenia następnika.

W ośmiokącie brak alternatywy rozłącznej i równoważności. Ich własności trzeba zapamiętać oddzielnie. Można też zbudować drugi ośmiokąt negacji, umieszczając te dwa związki naprzemiennie w kolejnych kątach ośmiokąta:

 

Można sprawdzić, że w otrzymanym ośmiokącie działają wszystkie podane wyżej metody.

Związki logiczne w informatyce

W informatyce, elektronice itd. rozpatrujemy także operacje logiczne na liczbach, zapisanych w układzie dwójkowym. Liczbami takimi mogą być bajty, czyli binarne liczby ośmiocyfrowe (ośmiobitowe). W układzie dwójkowym istnieją tylko dwie cyfry: 0 i 1, na których możemy wykonywać działania tak samo jak na wartościach logicznych zdań. Przykładem bajtu jest 10010111; jest to liczba 151 zapisana w układzie dwójkowym.

 

Podane symbole używane są w C i PHP. Zamiast Xor używa się czasem Eor lub ExOr. Zamiast A Iff B najczęściej używa się zapisu Not (A Xor B), czasem A ExNor B.

Implikacje nie mają w informatyce tak dużego znaczenia jak pozostałe związki logiczne, dlatego zapisu A Implies B (zamiast (Not A) Or B) używa się rzadko.

Związki logiczne w programie Mathematica

W cieszącym się dużą popularnością programie Wolfram Mathematica zastosowano następujące konwencje stosowania operatorów logicznych:

 

Podane operatory logiczne, z wyjątkiem operatorów negacji implikacji, mogą także łączyć większą liczbę wyrażeń niż 2, o czym będzie mowa w dalszej części.

 

Właściwości związków logicznych

Uwaga o kolejności działań

Operacja negacji ma w logice najwyższy priorytet. A zatem np. zapis p ∧ ~q jest równoznaczny zapisowi p ∧ (~q) i oznacza, że najpierw należy wykonać działanie ~p, a dopiero później koniunkcję. Na taką właśnie kolejność jasno wskazuje także brak spacji po znaku negacji, dlatego w tego typu sytuacjach na tej witrynie nawiasów się nie stosuje.

W formułach logicznych na ogół przyjmuje się, że koniunkcja (nazywana też iloczynem logicznym) ma wyższy priorytet niż alternatywa. A zatem w wyrażeniu (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) można opuścić nawiasy i napisać po prostu p ∧ q ∨ p ∧ r. Niższy priorytet mają dysjunkcja i binegacja, przy czym przez analogię należałoby też przyjąć, że dysjunkcja (będąca negacją koniunkcji) ma wyższy priorytet niż binegacja (negacja alternatywy). Dla uniknięcia dwuznaczności, we wszystkich wzorach umieszczonych na tej witrynie stosuje się jednak nawiasy w takich przypadkach.

Za działania o najniższym priorytecie uważa się ekskluzję, równoważność i implikację. Zamiast (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) można więc po prostu napisać p ∨ q ⇔ q ∨ p. Z uwagi na czytelność formuł stosuje się jednak i tutaj nawiasy.

Elementy neutralne i odwrotne

Elementami neutralnymi są:

• 1 (prawda) w koniunkcji: (p ∧ 1) ≡ p, równoważności (p ⇔ 1) ≡ p i implikacji odwrotnej (p ⇐ 1) ≡ p,
• 0 (fałsz) w alternatywie: (p ∨ 0) ≡ p, alternatywie rozłącznej (p ⊻ 0) ≡ p i zaprzeczeniu implikacji (p ↛ 0) ≡ p.

W zapisach tego rodzaju cyfra 1 oznacza dowolne zdanie prawdziwe, cyfra 0 – dowolne zdanie fałszywe.

Właściwości te uwidaczniają wyraźne podobieństwo alternatywy do dodawania (a + 0 = a), zaś koniunkcji do mnożenia (a · 1 = a), stąd ich alternatywne określenia, odpowiednio jako sumy i iloczynu logicznego. Prawdziwa jest także zależność (p ∧ 0) ≡ 0, analogiczna mnożeniu przez zero (a · 0 = 0). Zależność (p ∨ 1) ≡ 1 nie znajduje natomiast analogii w działaniach arytmetycznych.

Elementem odwrotnym jest:

• ten sam element w alternatywie rozłącznej: (p ⊻ p) ≡ 0,
• element przeciwny w koniunkcji: (p ∧ ~p) ≡ 0, binegacji: (p ↓ ~p) ≡ 0 i równoważności: (p ⇔ ~p) ≡ 0

Zwrotność

Zwrotność oznacza prawdziwość relacji o obu argumentach takich samych (p R p). Mówiąc nieco inaczej, zwrotne związki logiczne są prawdziwe, gdy oba argumenty mają tę samą wartość logiczną (tj. są prawdziwe dla p = 1 i q = 1 oraz dla p = 0 i q = 0). Przeciwzwrotne (antyzwrotne) są relacje, które są fałszywe, gdy oba argumenty mają tę samą wartość logiczną (niektórzy używają terminu „relacja azwrotna”). Jako „nonzwrotne” określa się relacje, które nie są zwrotne ani przeciwzwrotne. Wprost z tabeli wartości widać, że:

• równoważność i implikacja (prosta i odwrotna) są zwrotne: p ⇔ p, p ⇒ p, p ⇐ p.
• alternatywa rozłączna jest przeciwzwrotna, i podobnie zaprzeczenia implikacji prostej i odwrotnej: ~(p ⊻ p), ~(p ↛ p), ~(p ↚ p),
• pozostałe związki logiczne nie są ani zwrotne, ani przeciwzwrotne.

Przemienność

Przemienność, inaczej symetryczność, oznacza niezależność od kolejności zdań połączonych danym związkiem. Koniunkcja, binegacja, alternatywa, dysjunkcja, alternatywa rozłączna i równoważność są przemienne. A zatem np. p ∧ q znaczy to samo, co q ∧ p, co zapiszemy symbolicznie: (p ∧ q) ≡ (q ∧ p).

Implikacja natomiast nie jest przemienna (ani przeciwprzemienna), więc p ⇒ q to nie to samo, co q ⇒ p. Zachodzi natomiast kontrapozycja (transpozycja), co oznacza, że implikacja ekstensywna odpowiada implikacji przeciwstawnej: (p ⇒ q) ≡ (~q ⇒ ~p), natomiast implikacja intensywna odpowiada implikacji przeciwnej: (q ⇒ p) ≡ (~p ⇒ ~q). Kontrapozycja stanowi podstawę dowodu nie wprost.

Łączność

Właściwość ta występuje, gdy rozpatrujemy trzy zdania połączone związkiem logicznym, np. Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem i Nowak jest lekarzem. Nie ma niestety gotowego przepisu na ustalenie wartości logicznej całego zdania tego typu, w zależności od wartości zdań składowych. Możemy więc najpierw ustalić wartość logiczną związku Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem, a dopiero później wartości logiczne wyniku zestawić ze zdaniem Nowak jest lekarzem. Możemy też najpierw przeanalizować zdanie Malinowski jest lekarzem i Nowak jest lekarzem, a dopiero później zestawić wyniki ze zdaniem Kowalski jest lekarzem. Używając symboli p, q, r powiemy, że zapis p ∧ q ∧ r można rozumieć albo jako (p ∧ q) ∧ r, albo też jako p ∧ (q ∧ r). Akurat w przypadku koniunkcji nie ma to znaczenia, dlatego mówimy, że koniunkcja jest łączna. Podobnie łączne są alternatywa, alternatywa rozłączna i równoważność. Natomiast binegacja, dysjunkcja i implikacja nie są związkami łącznymi. Wartości logiczne związków trzech zdań zebrano w poniższej tabeli:

p	q	r	(p ∧ q) ∧ r	(p ↓ q) ↓ r	p ↓ (q ↓ r)	(p ∨ q) ∨ r	(p | q) | r	p | (q | r)	(p ⇔ q) ⇔ r	(p ⇒ q) ⇒ r	p ⇒ (q ⇒ r)
									p ⇔ (q ⇔ r)
			p ∧ (q ∧ r)			p ∨ (q ∨ r)			(p ⊻ q) ⊻ r
									p ⊻ (q ⊻ r)
1	1	1	1	0	0	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0
1	0	1	0	0	0	1	0	0	0	1	1
1	0	0	0	1	0	1	1	0	1	1	1
0	1	1	0	0	1	1	0	1	0	1	1
0	1	0	0	1	1	1	1	1	1	0	1
0	0	1	0	0	1	1	0	1	1	1	1
0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	1

Rozdzielność

Koniunkcja jest rozdzielna względem alternatywy: (p ∧ (q ∨ r)) ≡ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)). Właściwość ta przypomina znane z arytmetyki prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania: a · (b + c) = a · b + a · c.

W logice zachodzi również rozdzielność alternatywy względem koniunkcji: (p ∨ (q ∧ r)) ≡ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)). Właściwość ta nie ma odpowiednika w arytmetyce.

Implikacja jest rozdzielna względem koniunkcji w następniku: (p ⇒ (q ∧ r)) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)). Prawdziwa jest także następująca rozdzielność: ((p ∨ q) ↛ r) ≡ ((p ↛ r) ∨ (q ↛ r)).

Przechodniość

Relację R nazywamy przechodnią (tranzytywną) wtedy, gdy z prawdziwości związków p R q i q R r wynika prawdziwość związku p R r.

• koniunkcja jest relacją przechodnią: ((p ∧ q) ∧ (q ∧ r)) ⇒ (p ∧ r);
• binegacja jest relacją przechodnią: ((p ↓ q) ∧ (q ↓ r)) ⇒ (p ↓ r);
• równoważność jest relacją przechodnią: ((p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r)) ⇒ (p ⇔ r);
• implikacja jest relacją przechodnią: ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r).

Prawo przechodniości implikacji nazywane jest prawem sylogizmu hipotetycznego.

Alternatywa rozłączna jest relacją przeciwprzechodnią (atranzytywną): ((p ⊻ q) ∧ (q ⊻ r)) ⇒ ~(p ⊻ r). Z prawdziwości p R q i q R r wnioskować można w tym przypadku o nieprawdziwości p R r. Innymi słowy, ((p ⊻ q) ∧ (q ⊻ r)) ⇒ (p ⇔ r).

Alternatywa i dysjunkcja nie są relacjami przechodnimi ani przeciwprzechodnimi (są więc nontranzytywne). Z prawdziwości (p ∨ q) ∧ (q ∨ r) nie wynika ani prawdziwość p ∨ r, ani fałszywość tej relacji. Podobnie z prawdziwości (p | q) ∧ (q | r) nie wynika ani prawdziwość p | r, ani fałszywość tej relacji. Można natomiast wnioskować (z praw rozdzielności): ((p ∨ q) ∧ (q ∨ r)) ⇒ (q ∨ (p ∧ r)) oraz ((p | q) ∧ (q | r)) ⇒ (q | (p ∨ r)).

Zestawienie najważniejszych właściwości związków logicznych

	przemienność	łączność	przechodniość
	kontrapozycja		przeciwprzechodniość
p ∧ q	(p ∧ q) ≡ (q ∧ p)	((p ∧ q) ∧ r) ≡ (p ∧ (q ∧ r))	((p ∧ q) ∧ (q ∧ r)) ⇒ (p ∧ r)
p ↓ q	(p ↓ q) ≡ (q ↓ p)	—	((p ↓ q) ∧ (q ↓ r)) ⇒ (p ↓ r)
p ∨ q	(p ∨ q) ≡ (q ∨ p)	((p ∨ q) ∨ r) ≡ (p ∨ (q ∨ r))	—
p | q	(p | q) ≡ (q | p)	—	—
p ⊻ q	(p ⊻ q) ≡ (q ⊻ p)	((p ⊻ q) ⊻ r) ≡ (p ⊻ (q ⊻ r))	((p ⊻ q) ∧ (q ⊻ r)) ⇒ ~(p ⊻ r)
p ⇔ q	(p ⇔ q) ≡ (q ⇔ p)	((p ⇔ q) ⇔ r) ≡ (p ⇔ (q ⇔ r))	((p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r)) ⇒ (p ⇔ r)
p ⇒ q	(p ⇒ q) ≡ (~q ⇒ ~p)	—	((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)

Wnioskowanie z prawdziwości związków

Z prawdziwości jakiegoś związku międzyzdaniowego możemy wywnioskować prawdziwość innych związków. Zachodzą następujące odpowiedniości:

1. (p ∧ q) ≡ ((p ∨ q) ∧ (p ⇔ q))
2. (p ↚ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (p ⊻ q))
3. (p ↛ q) ≡ ((p ⇐ q) ∧ (p ⊻ q))
4. (p ↓ q) ≡ ((p | q) ∧ (p ⇔ q))
5. (p ⇔ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (p ⇐ q))
6. (p ⊻ q) ≡ ((p ∨ q) ∧ (p | q))

 

• Wobec 1 i 5, z prawdziwości koniunkcji wnioskujemy o prawdziwości alternatywy, równoważności, implikacji prostej i implikacji odwrotnej.
• Wobec 4 i 5, z prawdziwości binegacji wnioskujemy o prawdziwości dysjunkcji, równoważności, implikacji prostej i implikacji odwrotnej.
• Wobec 2 i 6, z nieprawdziwości implikacji odwrotnej wnioskujemy o prawdziwości implikacji prostej, dysjunkcji, alternatywy zwykłej i rozłącznej.
• Wobec 3 i 6, z nieprawdziwości implikacji prostej wnioskujemy o prawdziwości implikacji odwrotnej, dysjunkcji, alternatywy zwykłej i rozłącznej.
• Z prawdziwości alternatywy, dysjunkcji lub implikacji nie można wyciągnąć wniosków o prawdziwości innych związków międzyzdaniowych.

Definiowanie jednych związków przy pomocy innych

Za pomocą binegacji można zdefiniować:

• negację: ~p ≡ (p ↓ p),
• alternatywę: (p ∨ q) ≡ ~(p ↓ q) ≡ ((p ↓ q) ↓ (p ↓ q)),
• koniunkcję: (p ∧ q) ≡ (~p ↓ ~q) ≡ ((p ↓ p) ↓ (q ↓ q)).

Za pomocą dysjunkcji można zdefiniować:

• negację: ~p ≡ (p | p),
• alternatywę: (p ∨ q) ≡ (~p | ~q) ≡ ((p | p) | (q | q)),
• koniunkcję: (p ∧ q) ≡ ~(p | q) ≡ ((p | q) | (p | q)),
• implikację: (p ⇒ q) ≡ (p | (q | q)) ≡ (p | (p | q)).

Dalsze ciekawsze własności związków logicznych

Wśród właściwości związków logicznych na szczególną uwagę zasługują cztery sposoby wnioskowania, będące pochodnymi prawa sylogizmu hipotetycznego ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r):

• Modus ponendo ponens (MPP, prawo sylogizmu konstrukcyjnego, prawo odrywania, potwierdzający sposób przez potwierdzenie): wiemy, że jeżeli coś jest p, to jest też q, wiemy też, że badany obiekt jest p, wnioskujemy więc, że jest też q: ((p ⇒ q) ∧ p) ⇒ q. Innymi słowy: prawdziwość poprzednika przesądza o prawdziwości następnika.
• Modus ponendo tollens (MPT, prawo sylogizmu dysjunkcyjnego, zaprzeczający sposób przez potwierdzenie): wiemy, że coś nie jest p lub nie jest q, wiemy też, że badany obiekt jest p, wnioskujemy zatem, że nie jest q: ((~p ∨ ~q) ∧ p) ⇒ ~q. Przy pomocy dysjunkcji to samo prawo można sformułować następująco: z prawdziwości jednego ze zdań składowych prawdziwej dysjunkcji wynika fałszywość drugiego. Możemy to też zapisać tak: ((p | q) ∧ p) ⇒ ~q. Sposób ten wynika z prawa mówiącego, że jeżeli z pierwszego zdania wynika zaprzeczenie zdania drugiego, to ze zdania drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego: (p ⇒ ~q) ⇒ (~p ⇐ q).
• Modus tollendo ponens (MTP, prawo sylogizmu alternatywnego, potwierdzający sposób wnioskowania przez zaprzeczenie): wiemy, że coś jest p lub q, wiemy też, że badany obiekt nie jest p, wnioskujemy zatem, że jest q: ((p ∨ q) ∧ ~p) ⇒ q. Inaczej mówiąc: z fałszywości jednego ze zdań alternatywy wnioskujemy o prawdziwości drugiego. Sposób ten wynika z prawa mówiącego, że jeżeli z zaprzeczenia pierwszego zdania wynika zdanie drugie, to z zaprzeczenia zdania drugiego wynika zdanie pierwsze: (~p ⇒ q) ⇒ (p ⇐ ~q).
• Modus tollendo tollens (MTT, prawo sylogizmu destrukcyjnego, prawo falsyfikacji, zaprzeczający sposób wnioskowania przez zaprzeczenie): wiemy, że jeżeli coś jest p, to jest też q, wiemy też, że badany obiekt nie jest q, wnioskujemy, że nie jest też p, ((p ⇒ q) ∧ ~q) ⇒ ~p. Innymi słowy: fałszywość następnika pociąga za sobą fałszywość poprzednika. Sposób ten wynika z reguły transpozycji, którą można sformułować w postaci implikacji (p ⇒ q) ⇒ (~p ⇐ ~q).

Z innych własności należy zwrócić uwagę na następujące (wśród nich wymieniono także kilka wzmiankowanych już wcześniej):

• Prawo niesprzeczności (wyłączonej sprzeczności): zdanie p nie może być jednocześnie prawdziwe i fałszywe, ~(p ∧ ~p).
• Prawo wyłączonego środka (tertium non datur): prawdziwe jest dane zdanie lub jego negacja, p ∨ ~p (wobec prawa niesprzeczności w istocie zachodzi tu ekskluzja: p ⊻ ~p).
• Prawo podwójnej negacji: negacja negacji jakiegoś zdania jest tożsama zdaniu niezanegowanemu, p ≡ ~~p.
• Prawo tożsamości równoważności: każde zdanie jest równoważne samemu sobie, p ≡ p.
• Prawo tożsamości implikacji: każde zdanie implikuje samo siebie, p ⇒ p.
• Prawo idempotentności koniunkcji: p ≡ (p ∧ p) i alternatywy: p ≡ (p ∨ p); inne związki nie mają takiej właściwości.
• Pierwsze prawo de Morgana: zaprzeczenie koniunkcji jest tożsame alternatywie zaprzeczeń, ~(p ∧ q) ≡ (~p ∨ ~q).
• Drugie prawo de Morgana: zaprzeczenie alternatywy jest tożsame koniunkcji zaprzeczeń, ~(p ∨ q) ≡ (~p ∧ ~q).
• Prawo negacji implikacji: zaprzeczeniem implikacji jest koniunkcja poprzednika i zaprzeczenia następnika, ~(p ⇒ q) ≡ (p ∧ ~q).
• Prawo eliminacji implikacji: implikacja jest tożsama alternatywie zaprzeczenia poprzednika oraz (niezaprzeczonego) następnika, (p ⇒ q) ≡ (~p ∨ q).
• Prawo transpozycji prostej: z prawdziwości implikacji prostej wynika prawdziwość implikacji przeciwstawnej, (p ⇒ q) ⇒ (~q ⇒ ~p) (w istocie zachodzi tu równoważność, o czym wyżej).
• Prawo transpozycji złożonej: jeśli zdanie r wynika jednocześnie ze zdań p i q, i wiemy, że r jest nieprawdziwe, a p prawdziwe, wówczas wnioskujemy, że q jest nieprawdziwe, ((p ∧ q) ⇒ r) ⇒ ((~r ∧ p) ⇒ ~q); z uwagi na przemienność koniunkcji możemy też napisać: ((p ∧ q) ⇒ r) ⇒ ((~r ∧ q) ⇒ ~p); ogólnie możemy powiedzieć, że jeśli zdanie r wynika jednocześnie ze zdań p i q, i wiemy, że r jest nieprawdziwe, wówczas wnioskujemy, że nieprawdziwe jest też przynajmniej jedno ze zdań p, q, ((p ∧ q) ⇒ r) ⇒ (~r ⇒ (~p ∨ ~q)).
• Prawo eksportacji: jeśli z jednoczesnej prawdziwości zdań p i q wynika prawdziwość zdania r, to z prawdziwości p wynika prawdziwość implikacji o poprzedniku q i następniku r, ((p ∧ q) ⇒ r) ⇒ (p ⇒ (q ⇒ r)).
• Prawo importacji: jeżeli prawdą jest, że ze zdania p wynika pewna (dowolna) implikacja, to możemy wnioskować, że z prawdziwości zdania p i z prawdziwości poprzednika tej implikacji wynika prawdziwość jej następnika, (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ∧ q) ⇒ r); prawa importacji i eksportacji są odwrotne jedno względem drugiego.
• Prawo komutacji: jeżeli prawdą jest, że ze zdania p wynika pewna (dowolna) implikacja q ⇒ r, to możemy wnioskować, że z prawdziwości poprzednika tej implikacji (q) wynika prawdziwość implikacji o poprzedniku p i następniku r, (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ (q ⇒ (p ⇒ r)).
• Prawo Fregego (sylogizm Fregego): jeżeli prawdą jest, że z jakiegoś zdania wynika pewna (dowolna) implikacja, to możemy wnioskować, że z faktu wynikania z niego poprzednika wynika fakt wynikania z niego następnika tej implikacji, (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)).
• Prawo rozłączania: jeżeli następnik wynika z alternatywy dwóch poprzedników, wówczas wynika z każdego z nich: ((p ∨ q) ⇒ r) ⇒ ((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)).
• Prawo dodawania poprzedników (prawo łączenia): jeżeli jeden następnik wynika z dwóch poprzedników, to następnik ten wynika również z ich alternatywy, ((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ∨ q) ⇒ r); prawa łączenia i rozłączania są odwrotne jedno wobec drugiego.
• Prawo mnożenia następników (prawo kompozycji): jeżeli z poprzednika wynikają dwa następniki, to wynika z tego poprzednika również ich koniunkcja, ((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ (q ∧ r)).
• Prawo mnożenia implikacji: koniunkcja implikacji odpowiada implikacji koniunkcji poprzedników i następników, ((p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)) ≡ ((p ∧ r) ⇒ (q ∧ s)).
• Koniunkcyjne prawo sylogizmu hipotetycznego (prawo przechodniości implikacji): jeśli następnik jednej implikacji jest poprzednikiem drugiej, wówczas z poprzednika pierwszej implikacji wynika następnik drugiej, ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r).
• Bezkoniunkcyjne prawo sylogizmu hipotetycznego: z prawdziwości dowolnej implikacji wnioskujemy, że jeśli jakieś zdanie wynika z jej następnika, to wynika też z jej poprzednika, (p ⇒ q) ⇒ ((q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)).
• Prawo nowego czynnika: z prawdziwości implikacji wnioskujemy o prawdziwości implikacji koniunkcji obu jej członów z nowym zdaniem, (p ⇒ q) ⇒ ((p ∧ r) ⇒ (q ∧ r)).
• Prawo nowego składnika: z prawdziwości implikacji wnioskujemy o prawdziwości implikacji alternatyw obu jej członów z nowym zdaniem, (p ⇒ q) ⇒ ((p ∨ r) ⇒ (q ∨ r)).
• Prawo prostego dylematu konstrukcyjnego: jeśli r wynika z dwóch innych zdań, z których co najmniej jedno jest prawdziwe, to r też jest prawdziwe, ((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) ∧ (p ∨ q)) ⇒ r.
• Prawo złożonego dylematu konstrukcyjnego: jeśli r wynika z p, zaś s wynika z q, i choć jeden z poprzedników jest prawdziwy, to r lub s jest prawdziwe, ((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ s) ∧ (p ∨ q)) ⇒ (r ∨ s).
• Prawo prostego dylematu destrukcyjnego: jeśli z p wynikają q i r, i wiemy, że jedno z nich jest fałszywe, to p też jest fałszywe, ((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) ∧ (~q ∨ ~r)) ⇒ ~p.
• Prawo złożonego dylematu destrukcyjnego: jeśli z p wynika z r, zaś z q wynika s, i choć jeden z następników jest fałszywy, to p lub q jest fałszywe, ((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ s) ∧ (~r ∨ ~s)) ⇒ (~p ∨ ~q).
• Prawo addycji koniunkcji (prawo dołączania koniunkcji): prawdziwa jest koniunkcja dwóch zdań prawdziwych, ((p) ∧ (q)) ⇒ (p ∧ q).
• Prawo symplifikacji koniunkcji (prawo opuszczania koniunkcji, prawo pochłaniania dla koniunkcji): z prawdziwości koniunkcji badanego zdania z dowolnym innym należy wnioskować o jego prawdziwości, (p ∧ q) ⇒ p.
• Prawo addycji alternatywy (prawo dołączania alternatywy, prawo pochłaniania dla alternatywy): prawdziwa jest alternatywa zdania prawdziwego i dowolnego innego, p ⇒ (p ∨ q).
• Prawo symplifikacji alternatywy (prawo opuszczania alternatywy): z prawdziwości alternatywy badanego zdania z dowolnym zdaniem nieprawdziwym należy wnioskować o jego prawdziwości, ((p ∨ q) ∧ ~q) ⇒ p.
• Prawo pełnego pochłaniania dla koniunkcji: (p ∨ (p ∧ q)) ≡ p.
• Prawo pełnego pochłaniania dla alternatywy: (p ∧ (p ∨ q)) ≡ p.
• Prawo Claviusa: zdanie wynikające ze swej negacji jest prawdziwe, (~p ⇒ p) ⇒ p (formułowane także w postaci: jeśli ze zdania wynika jego negacja, to jest ono prawdziwe, (p ⇒ ~p) ⇒ p).
• Prawo symplifikacji implikacji (prawo charakterystyki prawdy, prawo poprzedzania): zdanie prawdziwe wynika z każdego innego zdania, p ⇒ (q ⇒ p).
• Prawo przepełnienia: ze zdania fałszywego wynika dowolne inne zdanie, p ⇒ (~p ⇒ q).
• Pierwsze prawo Dunsa Szkota (prawo charakterystyki fałszu): ze zdania fałszywego wynika dowolne inne zdanie, ~p ⇒ (p ⇒ q).
• Drugie prawo Dunsa Szkota: z koniunkcji dowolnego zdania i jego zaprzeczenia wynika dowolne inne zdanie, (p ∧ ~p) ⇒ q.
• Prawo redukcji do absurdu (reductio ad absurdum): jeżeli ze zdania p wynika zarówno zdanie q, jak i jego zaprzeczenie, to p jest fałszywe, ((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ ~q)) ⇒ ~p.
• Alternatywy rozłączne danego zdania z dwoma innymi zdaniami mają różną wartość logiczną wtedy i tylko wtedy, gdy jedno z tych zdań jest prawdziwe, a drugie fałszywe: ((p ⊻ r) ⊻ (q ⊻ r)) ≡ (p ⊻ q), zwykle zapisywana w postaci ((p ⊻ r) ≠ (q ⊻ r)) = (p ⊻ q).
• Alternatywa rozłączna odpowiada alternatywie zaprzeczeń implikacji prostej i odwrotnej. Właściwość tę można to zapisać rozmaicie, np. (p ⊻ q) ≡ ((~p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q)) ≡ (~(p ⇒ q) ∨ ~(p ⇐ q)) ≡ ((p ↛ q) ∨ (p ↚ q)).
• Prawo symetrii równoważności: prawdziwość równoważności nie zależy od kolejności obu zdań nią połączonych, (p ⇔ q) ≡ (q ⇔ p).
• Prawo addycji (dołączania) równoważności: prawdziwość jednocześnie implikacji prostej i odwrotnej oznacza, że zachodzi równoważność, ((p ⇒ q) ∧ (p ⇐ q)) ≡ (p ⇔ q).
• Pierwsze prawo zastępowania (eliminacji) równoważności (prawo symplifikacji równoważności, prawo opuszczania równoważności): równoważność można wyrazić w postaci koniunkcji implikacji prostej i odwrotnej, (p ⇔ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (p ⇐ q)).
• Drugie prawo zastępowania (eliminacji) równoważności: równoważność jest prawdziwa, gdy oba zdania są jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe: (p ⇔ q) ≡ ((p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)).
• Prawo negacji równoważności: zdania nie są równoważne, gdy mają różną wartość logiczną (jedno jest prawdziwe, a drugie fałszywe), ~(p ⇔ q) ≡ ((p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q)).

Uwaga. Odczytywanie praw logiki może sprawiać poważne trudności początkującym. I tak, niektóre przedstawione wyżej zapisy symboliczne wydają się z pozoru kłócić z ich sformułowaniem słownym. Tak jednak nie jest. Należy zwłaszcza zwrócić uwagę na sposób odczytywania implikacji stanowiącej esencję danego prawa. Odczytując taką implikację, orzekamy o prawdziwości zarówno poprzednika, jak i następnika, a następnie upraszczamy nasze sformułowanie. Np. zapis p ⇒ (q ⇒ p) należy odczytać początkowo: jeżeli zdanie p jest prawdziwe, to jest prawdą, że z dowolnego zdania q wynika zdanie p. Język naturalny pozwala na przestawienie zdań składowych implikacji pod warunkiem zachowania spójnika jeżeli we właściwym miejscu lub przy wyraźnym zaznaczeniu, co wynika z czego, dlatego powiemy: jeżeli zdanie p jest prawdziwe, to zdanie p wynika ze zdania q. Kolejne uproszczenie to zastąpienie zdania warunkowego przydawką: zdanie prawdziwe p wynika z dowolnego zdania q. Na końcu pozbywamy się literowych oznaczeń zdań, nazywając zdanie p po prostu zdaniem prawdziwym, zaś zdanie q innym zdaniem: zdanie prawdziwe wynika z każdego innego zdania.

Prawa logiczne i właściwości związków logicznych są tautologiami. Termin ten oznacza, że pozostają one zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznej zdań składowych (p, q, r).

 

Związki wielu zdań

Gdy rozpatrujemy więcej niż dwa zdania połączone spójnikami koniunkcji i alternatywy, wartość logiczna całości jest możliwa do ustalenia, gdyż związki te są łączne. Jest również zgodna z intuicją. Dlatego też łańcuchowe zapisy p ∧ q ∧ r oraz p ∨ q ∨ r można uznać za jednoznaczne. Takich trójargumentowych koniunkcji i alternatyw nie rozpatruje się w logice klasycznej, jednak w elektronice bramki logiczne And i Or posiadające 3 wejścia (lub więcej) są rzeczą normalną. Możemy więc podać następujące, uogólnione definicji tych dwóch funkcji:

• koniunkcją nazywamy funkcję logiczną, która jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z jej argumentów jest prawdziwy,
• alternatywą nazywamy funkcję logiczną, która jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy choć jeden z jej argumentów jest prawdziwy (nie wszystkie są fałszywe).

Dla zapisu tego rodzaju funkcji (o dowolnej ilości argumentów, byle tylko większej niż 1) można stosować notację ∧(p,q,r, …) oraz ∨(p,q,r, …), ewentualnie And(p,q,r, …) oraz Or(p,q,r, …). Możemy nawet pominąć nawiasy i przecinki: Andpqr, Orpqr. Tego rodzaju zapis zwany jest notacją polską. Możemy naturalnie umówić się, że np. zamiast And zastosujemy literę K (od Koniunkcja), a zamiast Or literę A (od Alternatywa). Notacja polska dla funkcji dwóch argumentów przyjmie wówczas postać Kpq, Apq, dla trzech argumentów Kpqr, Apqr, itd. W programie Mathematica dla koniunkcji stosuje się notację p ∧ q ∧ r lub p && q && r lub też And [p, q, r], natomiast dla alternatywy notację p ∨ q ∨ r lub p || q || r lub też Or [p, q, r].

Żaden z dwóch zapisów (p ↓ q) ↓ r oraz p ↓ (q ↓ r) (oznaczających każdy co innego) nie odpowiada zdaniu ani… ani… ani… w języku naturalnym, które rozumiane jest jako zaprzeczenie alternatywy: ~(p ∨ q ∨ r) czyli (na mocy drugiego prawa de Morgana) jako koniunkcja zaprzeczeń: ~p ∧ ~q ∧ ~r. Podobnie żaden z dwóch zapisów (p | q) | r oraz p | (q | r) nie odpowiada zdaniu bądź… bądź… bądź… w języku naturalnym, które rozumiane jest jako zaprzeczenie koniunkcji: ~(p ∧ q ∧ r) czyli (na mocy pierwszego prawa de Morgana) jako alternatywa zaprzeczeń: ~p ∨ ~q ∨ ~r. Opierając się na właściwościach języka naturalnego i na praktyce w elektronice możemy więc podać uogólnione definicje dwóch kolejnych funkcji logicznych o dowolnej ilości argumentów (większej niż 1):

• negacją łączną nazywamy funkcję logiczną, która jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej argumenty są fałszywe,
• dysjunkcją nazywamy funkcję logiczną, która jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy choć jeden z jej argumentów jest fałszywy (nie wszystkie są prawdziwe).

Znaczenie zapisów typu p ↓ q ↓ r, czy p | q | r nie jest więc wcale oczywiste, może być rozumiane rozmaicie, i dlatego powinno się go unikać. Należy zwrócić na to szczególną uwagę, aby uniknąć nieporozumień i dwuznaczności. Dla zapisu tego rodzaju funkcji wygodnie jest natomiast stosować notację ↓(p,q,r, …) oraz |(p,q,r, …), ewentualnie Nor(p,q,r, …) oraz Nand(p,q,r, …), lub krócej Norpqr, Nandpqr. Zamiast Nor możemy zastosować literę B, gdyż jest to jedynie kwestią umowy, podobnie jak stosowanie D zamiast Nand. W programie Mathematica dla negacji łącznej stosuje się notację p ⊽ q ⊽ r lub Nor [p, q, r], natomiast dla dysjunkcji notację p ⊼ q ⊼ r lub Nand [p, q, r]. Zauważmy, że rozszerzenie znaczenia terminu „binegacja” byłoby niesłuszne (łac. bis = dwa razy). Binegacja jest zatem szczególnym przypadkiem negacji łącznej, gdy liczba argumentów wynosi dwa.

Jeszcze większe problemy stwarzają alternatywa wykluczająca oraz równoważność. Związek (p ⇔ q) ⇔ r wykazuje nader ciekawe właściwości, gdyż jest łączny, tj. równoważny związkowi p ⇔ (q ⇔ r), ale jest także równoważny związkom (p ⊻ q) ⊻ r oraz p ⊻ (q ⊻ r). Jest on prawdziwy wówczas, gdy wszystkie trzy zdania składowe są prawdziwe. Jednak w przeciwieństwie do zwykłej równoważności, nie jest on prawdziwy, gdy wszystkie zdania są fałszywe. Jest za to prawdziwy, gdy dokładnie jedno z trzech zdań jest prawdziwe (a dwa pozostałe fałszywe). Mimo łączności, równoważność trzech zdań nie wykazuje właściwości oczekiwanych intuicyjnie, dlatego zapisu typu p ⇔ q ⇔ r (częstego nawet w logice, mimo deklaracji o rozpatrywaniu wyłącznie dwuargumentowych związków logicznych) nie należy w żadnym wypadku utożsamiać z zapisem (p ⇔ q) ⇔ r. Zapis p ⇔ q ⇔ r jest w rzeczywistości tożsamy koniunkcji dwóch równoważności (p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r). Trzecia równoważność p ⇔ r jest w takim wypadku oczywista i wynika z omówionej niżej własności przechodniości.

Symbol ≡ informuje, że wyrażenia po obu jego stronach mają tę samą wartość logiczną. Znak równoważności natomiast o tym nie informuje, równoważność bowiem nie musi być prawdziwa. Zapis p ⇔ q ⇔ r może rodzić wątpliwości, ponieważ oceniamy jego wartość logiczną. Natomiast wartości logicznej zapisu p ≡ q ≡ r nie analizujemy.

Podobnie jak w przypadku równoważności, żaden z zapisów (p ⊻ q) ⊻ r oraz p ⊻ (q ⊻ r) nie odpowiada zdaniu albo… albo… albo…, rozumianemu jako wystąpienie dokładnie jednej możliwości z podanych trzech. W języku logiki zdanie takie należałoby zapisać w postaci dość skomplikowanej formuły ((p ⊻ q) ⊻ r) ⊻ ((p ∧ q) ∧ r), lub też w postaci nieco prostszej, lecz mniej regularnej: ((p ⊻ q) ⊻ r) ⊻ (q | r). Nie ma przeszkody, aby uogólnić definicję równoważności, jednak uogólnienie alternatywy rozłącznej na funkcje wiele argumentów rodzi szereg problemów i wiele możliwych rozwiązań. Rozwiązanie zastosowane w programie Mathematica zostanie przedstawione niżej; na razie ograniczymy się do podania określeń 5 następujących funkcji dowolnej ilości argumentów (większej niż 1):

• równoważnością nazywamy funkcję logiczną, która jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej argumenty mają tę samą wartość logiczną, a więc gdy wszystkie są prawdziwe lub wszystkie fałszywe,
• nierównoważnością nazywamy funkcję logiczną, która jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy nie wszystkie jej argumenty mają tę samą wartość logiczną,
• alternatywą rozłączną (ekskluzją) nazywamy funkcję logiczną, która jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie jeden jej argument ma przeciwną wartość logiczną niż pozostałe (dokładnie jeden jest prawdziwy lub dokładnie jeden jest fałszywy),
• alternatywą rozłączną ze względu na prawdę nazywamy funkcję logiczną, która jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie jeden jej argument jest prawdziwy, a pozostałe są fałszywe,
• alternatywą rozłączną ze względu na fałsz nazywamy funkcję logiczną, która jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie jeden jej argument jest fałszywy, a pozostałe są prawdziwe.

Dla wyrażenia równoważności można użyć zapisu ⇔(p,q,r, …), choć w praktyce przeważa zapis łańcuchowy p ⇔ q ⇔ r. Dla wyrażenia nierównoważności właściwy będzie zapis ↮(p,q,r, …). W ogólnym przypadku nie będzie on równoważny zapisowi ⊻(p,q,r, …), oznaczającemu alternatywę rozłączną; zgodnie z podanymi definicjami alternatywa rozłączna i nierównoważność oznaczają ten sam związek, gdy liczba argumentów nie przekracza 3.

Dla określenia wartości logicznej równoważności wielu argumentów możemy posłużyć się właściwością tego związku, na mocy której (⇔(p,q,r, …)) ≡ ((p ∧ q ∧ r…) ∨ (~p ∧ ~q ∧ ~r…)). Nierównoważność można przedstawić analogicznie, korzystając z praw de Morgana: (↮(p,q,r, …)) ≡ ((p ∨ q ∨ r…) ∧ (~p ∨ ~q ∨ ~r…)).

Dziewięć wymienionych powyżej funkcji zebrano w tabeli:

	wszystkie	nie wszystkie	dokładnie jeden argument
prawdziwe	koniunkcja	dysjunkcja	ekskluzja ze względu na prawdę
fałszywe	negacja łączna	alternatywa	ekskluzja ze względu na fałsz
prawdziwe lub fałszywe	równoważność	nierównoważność	ekskluzja

Nierównoważność oznacza, że nie wszystkie argumenty mają tę samą wartość, to znaczy niektóre są prawdziwe, a niektóre fałszywe. Można też stwierdzić, że tylko niektóre argumenty nierównoważności są prawdziwe, można wreszcie stwierdzić że tylko niektóre argumenty są fałszywe. Nierównoważność jest „silniejszą postacią” alternatywy: alternatywa jest prawdziwa, gdy niektóre argumenty są prawdziwe (a więc także wtedy, gdy prawdziwe są wszystkie argumenty), natomiast nierównoważność jest prawdziwa, gdy tylko niektóre argumenty są prawdziwe. Podobnie nierównoważność jest „silniejszą postacią” dysjunkcji: dysjunkcja jest prawdziwa, gdy niektóre argumenty są fałszywe (a więc także wtedy, gdy fałszywe są wszystkie argumenty), natomiast nierównoważność jest prawdziwa, gdy tylko niektóre argumenty są fałszywe.

Wartości logiczne argumentów mogą wyrażać cyfry 1 i 0 użyte zamiast symboli p, q, r itd. Wówczas zapis (1,0,1) oznacza trzy argumenty p, q, r, z których p jest prawdziwe, q fałszywe, r prawdziwe, a zapis (0,1,1,0) cztery argumenty p, q, r, s, z których tylko q i r są prawdziwe. W poniższej tabeli zebrano wszystkie układy wartości logicznych 2, 3 i 4 argumentów, dla których podane funkcje są prawdziwe bądź fałszywe; każdy inny układ zmienia wartość logiczną funkcji na przeciwną.

funkcja		liczba argumentów
		dwa	trzy	cztery
koniunkcja	prawdziwa tylko dla	(1,1)	(1,1,1)	(1,1,1,1)
negacja łączna	prawdziwa tylko dla	(0,0)	(0,0,0)	(0,0,0,0)
równoważność	prawdziwa dla	(1,1), (0,0)	(1,1,1), (0,0,0)	(1,1,1,1), (0,0,0,0)
	fałszywa dla	(1,0), (0,1)	pozostałych	pozostałych
dysjunkcja	fałszywa tylko dla	(1,1)	(1,1,1)	(1,1,1,1)
alternatywa	fałszywa tylko dla	(0,0)	(0,0,0)	(0,0,0,0)
nierównoważność	fałszywa dla	(1,1), (0,0)	(1,1,1), (0,0,0)	(1,1,1,1), (0,0,0,0)
	prawdziwa dla	(1,0), (0,1)	pozostałych	pozostałych
ekskluzja ze względu na prawdę	prawdziwa dla	(1,0), (0,1)	(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)	(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)
	fałszywa dla	(1,1), (0,0)	pozostałych	pozostałych
ekskluzja ze względu na fałsz	prawdziwa dla	(1,0), (0,1)	(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)	(1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (0,1,1,1)
	fałszywa dla	(1,1), (0,0)	pozostałych	pozostałych
ekskluzja	prawdziwa dla	(1,0), (0,1)	(1,1,0), (1,0,1), (1,0,0), (0,1,1), (0,1,0), (0,0,1)	(1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,0,0), (0,1,1,1), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)
	fałszywa dla	(1,1), (0,0)	(1,1,1), (0,0,0)	(1,1,1,1), (1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1), (0,0,1,1), (0,0,0,0)

Dalsze funkcje logiczne

Zauważmy, że wartości rozpatrywanych w tym rozdziale funkcji nie zależą od tego, który konkretnie argument jest prawdziwy, a który fałszywy, a jedynie od ilości argumentów o określonej wartości logicznej.

Dla funkcji dwóch argumentów można sporządzić następującą tabelę:

prawdziwa dla	fałszywa dla
2	0, 1	∧	koniunkcja	oba argumenty prawdziwe
0, 1	2	|	dysjunkcja	istnieją argumenty fałszywe
1, 2	0	∨	alternatywa	istnieją argumenty prawdziwe
0	1, 2	↓	binegacja	oba argumenty fałszywe
0, 2	1	⇔	równoważność	oba argumenty o tej samej wartości
1	0, 2	⊻	ekskluzja	argumenty o różnej wartości

Podane w tabeli cyfry oznaczają ilość argumentów prawdziwych konieczną, aby funkcja przybrała wartość logiczną podaną w nagłówku. Na przykład dysjunkcja jest prawdziwa, gdy żadne ze zdań nie jest prawdziwe (0) lub gdy prawdziwe jest jedno zdanie (1), stąd zapis 0, 1. Jednocześnie dysjunkcja jest fałszywa wówczas, gdy oba zdania są prawdziwe, stąd zapis 2 w odpowiedniej komórce tabeli.

Ostatnia kolumna tabeli zawiera sformułowania w języku naturalnym odpowiadające danej funkcji logicznej. Zauważmy, że sformułowanie „istnieją” obejmuje także wypadek „wszystkie”, co w omawianym wypadku znaczy „oba”.

Już przy trzech argumentach pojawiają się nowe funkcje. Poniższa tabela obejmuje tylko najciekawsze z nich.

prawdziwa dla	fałszywa dla
3	0, 1, 2	∧	koniunkcja	wszystkie argumenty prawdziwe
0, 1, 2	3	|	dysjunkcja	istnieją argumenty fałszywe (nie wszystkie prawdziwe)
1, 2, 3	0	∨	alternatywa	istnieją argumenty prawdziwe (nie wszystkie fałszywe)
0	1, 2, 3	↓	negacja łączna	wszystkie argumenty fałszywe
0, 3	1, 2	⇔	równoważność	wszystkie argumenty o tej samej wartości
1, 2	0, 3	↮	nierównoważność	tylko niektóre argumenty prawdziwe (nie wszystkie prawdziwe i nie wszystkie fałszywe)
1	0, 2, 3	⊻T	ekskluzja ze względu na prawdę	dokładnie jeden argument prawdziwy (dwa fałszywe)
0, 2, 3	1	¬⊻T		nieprawda, że dokładnie jeden argument prawdziwy
2	0, 1, 3	⊻F	ekskluzja ze względu na fałsz	dokładnie jeden argument fałszywy (dwa prawdziwe)
0, 1, 3	2	¬⊻F		nieprawda, że dokładnie jeden argument fałszywy
2, 3	0, 1	ψT		kilka argumentów prawdziwych (co najwyżej jeden fałszywy)
0, 1	2, 3	ψF		kilka argumentów fałszywych (co najwyżej jeden prawdziwy)

I tutaj cyfry oznaczają ilość argumentów prawdziwych konieczną, aby funkcja była odpowiednio prawdziwa lub fałszywa. Pozostałe objaśnienia:

• Funkcje oraz ich negacje zestawiono w kolejnych wierszach (np. dysjunkcja jest negacją koniunkcji, negacja łączna jest negacją alternatywy itd.).
• Brak zwykłej ekskluzji (⊻), gdyż w wypadku 3 argumentów ma ona te same własności, co nierównoważność (↮).
• Symbol ⊻_T oznacza ekskluzję ze względu na prawdę, którą zdefiniowano wyżej
• Analogicznie symbol ⊻_F oznacza ekskluzję ze względu na fałsz.
• Symbole ¬⊻_T oraz ¬⊻_F oznaczają negacje obu rodzajów ekskluzji.
• Oznaczenia ψ_T oraz ψ_F wprowadzono na potrzeby tej witryny.

Zauważmy, że w określeniach funkcji obok pojęć „wszystkie” oraz „istnieją” pojawiają się też pojęcia „jeden” („dokładnie jeden”) oraz „co najwyżej jeden”. Logika trzech argumentów rozpatruje więc wypadki:

• „żaden” (0),
• „co najwyżej jeden” (0 lub 1),
• „jeden” (1),
• „nie wszystkie” (0, 1 lub 2),
• „istnieją” (1, 2 lub 3),
• „kilka” (2 lub 3),
• „wszystkie” (3).

Widać też, że określenie „istnieją” znaczy to samo, co „co najmniej jeden”. Takie sformułowanie jest bardziej zrozumiałe w języku naturalnym, choć unikane przez logików. Można też używać mniej ścisłego określenia „pewne”. Z kolei sformułowanie „kilka” oznacza to samo, co „więcej niż jeden”, i obejmuje także przypadek „wszystkie”.

Przy czterech argumentach pojawiają się kolejne funkcje, co ilustruje poniższa tabela.

prawdziwa dla	fałszywa dla
4	0, 1, 2, 3	∧	koniunkcja	wszystkie argumenty prawdziwe
0, 1, 2, 3	4	|	dysjunkcja	co najmniej jeden argument fałszywy (niektóre fałszywe, nie wszystkie prawdziwe)
1, 2, 3, 4	0	∨	alternatywa	co najmniej jeden argument prawdziwy (niektóre prawdziwe, nie wszystkie fałszywe)
0	1, 2, 3, 4	↓	negacja łączna	wszystkie argumenty fałszywe
0, 4	1, 2, 3	⇔	równoważność	wszystkie argumenty o tej samej wartości
1, 2, 3	0, 4	↮	nierównoważność	tylko niektóre argumenty prawdziwe (nie wszystkie prawdziwe i nie wszystkie fałszywe)
1	0, 2, 3, 4	⊻T	ekskluzja ze względu na prawdę	dokładnie jeden argument prawdziwy (trzy fałszywe)
0, 2, 3, 4	1	¬⊻T		nieprawda, że dokładnie jeden argument prawdziwy
3	0, 1, 2, 4	⊻F	ekskluzja ze względu na fałsz	dokładnie jeden argument fałszywy (trzy prawdziwe)
0, 1, 2, 4	3	¬⊻F		nieprawda, że dokładnie jeden argument fałszywy
1, 3	0, 2, 4	⊻	ekskluzja	dokładnie jeden argument inny niż pozostałe trzy
0, 2, 4	1, 3	¬⊻		nieprawda, że dokładnie jeden argument inny niż pozostałe trzy
2, 3, 4	0, 1	ψT		kilka argumentów prawdziwych (więcej niż jeden prawdziwy)
0, 1	2, 3, 4	¬ψT		co najwyżej jeden argument prawdziwy
0, 1, 2	3, 4	ψF		kilka argumentów fałszywych (więcej niż jeden fałszywy)
3, 4	0, 1, 2	¬ψF		co najwyżej jeden argument fałszywy
2	0, 1, 3, 4	ψ		kilka argumentów innych niż pozostałe (więcej niż jeden prawdziwy i więcej niż jeden fałszywy)
0, 1, 3, 4	2	¬ψ		co najwyżej jeden argument prawdziwy lub co najwyżej jeden argument fałszywy
2, 3	0, 1, 4	χT		tylko kilka argumentów prawdziwych
0, 1, 4	2, 3	¬χT		nieprawda, że tylko kilka argumentów prawdziwych
1, 2	0, 3, 4	χF		tylko kilka argumentów fałszywych
0, 3, 4	1, 2	¬χF		nieprawda, że tylko kilka argumentów fałszywych

W przypadku 4 argumentów zwykła ekskluzja (⊻) i nierównoważność (↮) oznaczają różne funkcje, jak zdefiniowano wyżej. Oznaczenia ψ_T, ψ_F, χ_T oraz χ_F wprowadzono na potrzeby tej witryny.

Logika czterech argumentów rozpatruje wypadki:

• „żaden” (0),
• „co najwyżej jeden” (0 lub 1),
• „jeden” (1),
• „tylko niektóre” (1, 2 lub 3),
• „nie wszystkie” (0, 1, 2 lub 3),
• „pewne” = „niektóre” = „co najmniej jeden” (1, 2, 3 lub 4),
• „tylko kilka” (2 lub 3),
• „kilka” = „więcej niż jeden” (2, 3 lub 4),
• „wszystkie” (4).

Szczególne znaczenie pojęcia „jeden” wynika z próby uogólnienia alternatywy rozłącznej, zdefiniowanej dla dwóch argumentów. Związek ten można jednak uogólnić i na inne sposoby. Szczególnie często definiuje się alternatywę modulo 2, która znajduje zastosowanie np. w elektronice. Używa się jej także w programie Mathematica, stosując notację p ⊻ q ⊻ r lub Xor [p, q, r]. Funkcja ta zwraca logiczną wartość prawdy, jeśli prawdziwa jest nieparzysta ilość argumentów, podczas gdy reszta jest fałszywa. Jeśli natomiast prawdziwa jest parzysta ilość argumentów, funkcja Xor zwraca logiczną wartość fałszu. Dzięki takiej definicji jest funkcją przemienną i łączną. Łatwo sprawdzić, że np. Xor [Xor [p, q], r] oznacza to samo co p ⊻ q ⊻ r.

Wszystkie omówione dotąd związki są przemienne (symetryczne). Implikacji dla trzech i większej ilości argumentów zwykle nie definiuje się. Mimo to można umówić się, że związek logiczny o postaci (p ⇒ (q ∧ r…) będziemy uważać za implikację o wielu argumentach; pierwszy argument jest poprzednikiem, pozostałe następnikami. Koniunkcja odpowiednich implikacji tego typu zachowuje jedną z podstawowych właściwości tego związku, tj. ma taką samą wartość logiczną jak równoważność. Np. (p ⇒ (q ∧ r)) ∧ (q ⇒ (p ∧ r)) ∧ (r ⇒ (p ∧ q)) ≡ (⇔(p,q,r)).

 

Logika wielowartościowa

W logice klasycznej za zdanie uważa się tylko takie stwierdzenie, któremu można przypisać jedną z dwóch wartości logicznych: prawdę (1) lub fałsz (0). Stworzono jednak teorie, w których analizuje się także stwierdzenia, którym można przypisać inną wartość logiczną.

Logika trójwartościowa

W najprostszym wypadku do prawdy i fałszu dorzuca się stan pośredni, któremu przypisuje się umownie liczbową wartość ½. Wartość taką można interpretować na wiele sposobów. Autorem takiego trójwartościowego systemu logicznego był w latach dwudziestych XX wieku Jan Łukasiewicz. Określił on wartość pośrednią jako stan braku wiedzy lub niepewności.

Analizowanie nie dwóch, ale trzech wartości logicznych wymaga uściślenia definicji związków logicznych. Dopóki ich argumenty przybierają wartości prawdy (1) lub fałszu (0), dopóty stosować można tabelę wartości omówioną wyżej. Jednak gdy choć jeden z argumentów przybiera wartość pośrednią (½), wówczas nie jest oczywiste, jaką przyjmą one wartość logiczną. Dobrze jest wówczas posłużyć się jakąś formułą matematyczną, tak opracowaną, aby wynikiem jej zastosowania była zawsze jedna z możliwych wartości logicznych (w opisywanym wypadku 0, ½ albo 1).

I tak, dla negacji (~) przyjmuje się na ogół formułę 1 − x, gdzie x jest wartością logiczną negowanego zdania. Negacją prawdy jest więc, jak w logice dwuwartościowej, fałsz, a negacją fałszu prawda. Wartość pośrednia nie zmienia się, gdyż 1 − ½ = ½.

Za wartość logiczną koniunkcji (∧) uważa się najmniejszą spośród wartości jej argumentów. Taka definicja ma zastosowanie do związków zarówno typowych, dwuargumentowych (wówczas formuła przybiera postać min(x, y)), jak i do związków wieloargumentowych. Na przykład 1 ∧ ½ = ½, ½ ∧ ½ = ½, 1 ∧ ½ ∧ 0 = 0 (zamiast p, q, r podano od razu ich wartości logiczne).

Łukasiewicz rozpatrywał związek podobny do koniunkcji, który możemy nazwać koniunkcją Łukasiewicza. Różni się on sposobem zdefiniowania: wartości logiczne argumentów należy do siebie dodać, a od uzyskanej sumy odjąć liczbę o jeden mniejszą od ilości argumentów. Dla związku dwuargumentowego należy odjąć 1; tylko takie związki rozpatrywał Łukasiewicz. Jeśli wynik działania jest ujemny, jako ostateczną wartość przyjmujemy zero. Operacjom tym odpowiada (dla związków dwuargumentowych) formuła max(0, x + y − 1).

Dla związku tego stosuje się czasem wywodzący się z notacji Łukasiewicza symbol &, częściej używa się dziś krzyżyka w kółku: ⊗. A zatem na przykład 1 ⊗ 1 = 1 (bo 1 + 1 − 1 = 1), 1 ⊗ 0 = 0 (bo 1 + 0 − 1 = 0), 0 ⊗ 0 = 0 (bo 0 + 0 − 1 = − 1, więc przyjmujemy 0), 1 ⊗ ½ = ½ (bo 1 + ½ − 1 = ½), ½ ⊗ ½ = 0 (bo ½ + ½ − 1 = 0), 1 ⊗ ½ ⊗ 0 = 0 (bo 1 + ½ + 0 − 2 = -½, więc przyjmujemy 0). Zauważmy, że na ogół wartości obu typów koniunkcji są takie same; dla związków dwuargumentowych jedynie ½ ⊗ ½ ma inną wartość niż ½ ∧ ½.

Jako wartość logiczną alternatywy (∨) uważa się największą spośród wartości jej argumentów (dla związków dwuargumentowych: max(x, y)). Na przykład 1 ∨ ½ = 1, ½ ∨ ½ = ½, 1 ∨ ½ ∨ 0 = 1.

Alternatywa Łukasiewicza (oznaczana plusem w kółku, ⊕) została zdefiniowana jako suma wartości logicznej argumentów, przy czym wynik nie może być większy niż 1. Dla związku dwuargumentowego przedstawia to formuła min(1, x + y). A zatem na przykład 1 ⊕ 1 = 1 (bo 1 + 1 = 2, więc przyjmujemy 1), 1 ⊕ 0 = 1 (bo 1 + 0 = 1), 0 ⊕ 0 = 0 (bo 0 + 0 = 0), 1 ⊕ ½ = 1 (bo 1 + ½ = 1½, więc przyjmujemy 1), ½ ⊕ ½ = 1 (bo ½ + ½ = 1), 1 ⊕ ½ ⊕ 0 = 1 (bo 1 + ½ + 0 = 1½, więc przyjmujemy 1). Na ogół wartości obu typów alternatywy są takie same; dla związków dwuargumentowych jedynie ½ ⊕ ½ ma inną wartość niż ½ ∨ ½.

Bez problemu można zdefiniować kolejne dwa związki: dysjunkcję (|) oraz binegację / negację łączną (↓), jako negacje odpowiednio koniunkcji i alternatywy. Można także analogicznie zdefiniować dysjunkcję Łukasiewicza (⊘) i negację łączną Łukasiewicza (⊖), choć sam Łukasiewicz się nimi nie zajmował.

Ponieważ obok zwykłej koniunkcji czy alternatywy istnieją koniunkcja i alternatywa Łukasiewicza, więc wyróżnimy także dwa różne typy implikacji. Nie za bardzo wiadomo, czym miałaby być implikacja większej ilości zdań, dlatego też ograniczymy się tu wyłącznie do dwóch argumentów. Zauważmy, że klasyczna implikacja odpowiada alternatywie negacji zdania pierwszego oraz zdania drugiego: (p ⇒ q) ≡ (~p ∨ q). Wobec tego możemy wyznaczać wartość implikacji jako większą z liczb 1 − x, y, gdzie x i y to wartości logiczne odpowiednio poprzednika i następnika. Mamy więc na przykład 1 ⇒ 1 = 1 (porównujemy 1 − 1 oraz 1), 1 ⇒ 0 = 0 (1 − 1 oraz 0), 0 ⇒ 1 = 1 (1 − 0 oraz 1), 0 ⇒ 0 = 1 (1 − 0 oraz 0), 1 ⇒ ½ = ½ (1 − 1 oraz ½), ½ ⇒ 1 = 1 (1 − ½ oraz 1), ½ ⇒ ½ = ½ (1 − ½ oraz ½).

Implikacja Łukasiewicza, którą oznaczymy tutaj pojedynczą strzałką (→), definiowana jest jako alternatywa Łukasiewicza negacji zdania pierwszego oraz zdania drugiego: (p → q) ≡ (~p ⊕ q), a więc jako 1 − x + y, przy czym wynik nie może być większy od 1. Mamy więc na przykład 1 → 1 = 1 (bo 1 − 1 + 1 = 1), 1 → 0 = 0 (bo 1 − 1 + 0 = 0), 0 → 1 = 1 (bo 1 − 0 + 1 = 2, zatem przyjmujemy 1), 0 → 0 = 1 (bo 1 − 0 + 0 = 1), 1 → ½ = ½ (bo 1 − 1 + ½ = ½), ½ → 1 = 1 (bo 1 − ½ + 1 = 1½, zatem przyjmujemy 1), ½ → ½ = 1 (bo 1 − ½ + ½ = 1). Jak widać, jedynie ½ → ½ ma inną wartość niż ½ ⇒ ½.

Uznanie za (w pełni) prawdziwą implikacji, której zarówno poprzednik, jak i następnik jest niepewny (ma wartość logiczną ½) wydało się Łukasiewiczowi zgodne z intuicyjnym sposobem pojmowania implikacji. Skoro za prawdziwą uznaje się zarówno implikację o prawdziwym poprzedniku i prawdziwym następniku (1 → 1), jak i implikację o fałszywym poprzedniku i fałszywym następniku (0 → 0), to także implikacja, której oba argumenty są niepewne (½ → ½) powinna być prawdziwa. Implikacja definiowana w zwykły sposób nie spełnia tego warunku, i właśnie dlatego Łukasiewicz posłużył się specjalną odmianą alternatywy (a przy okazji i koniunkcji). W rezultacie ilość związków w logice trójwartościowej podwoiła się.

Równoważność można rozumieć jako koniunkcję implikacji prostej i odwrotnej: (p ⇔ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (p ⇐ q)). Oczywiście i tutaj odróżnimy równoważność klasyczną oraz równoważność Łukasiewicza; do ich zdefiniowania posłużymy się odpowiednimi typami koniunkcji i implikacji. Dla równoważności klasycznej (⇔) otrzymamy na przykład 1 ⇔ 1 = 1, 1 ⇔ 0 = 0, 0 ⇔ 0 = 1, 1 ⇔ ½ = ½, ½ ⇔ ½ = ½. Wartość logiczną równoważności Łukasiewicza (↔) da się obliczyć bezpośrednio jako 1 − |x − y|. A zatem na przykład 1 ↔ 1 = 1 (bo 1 − |1 − 1| = 1 − 0 = 1), 1 ↔ 0 = 0 (bo 1 − |1 − 0| = 1 − 1 = 0), 0 ↔ 0 = 1 (bo 1 − |0 − 0| = 1 − 0 = 1), 1 ↔ ½ = ½ (bo 1 − |1 − ½| = 1 − ½ = ½), ½ ↔ ½ = 1 (bo 1 − |½ − ½| = 1 − 0 = 1).

Istnieje także inny sposób przedstawienia równoważności – jako alternatywy koniunkcji i binegacji: (p ⇔ q) ≡ ((p ∧ q) ∨ (p ↓ q)), co można także zapisać: (p ⇔ q) ≡ ((p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)). Jak łatwo sprawdzić, oba sposoby są w wypadku logiki trójwartościowej równoważne, drugi sposób pozwala jednak łatwo rozpatrywać równoważność więcej niż dwóch argumentów. Dla równoważności Łukasiewicza otrzymamy formułę: (p ↔ q) ≡ ((p ∧ q) ⊕ (~p ∧ ~q)); zastąpienie wewnętrznych zwykłych koniunkcji związkami Łukasiewicza nie doprowadzi do równoważności, gdyż ((½ ⊗ ½) ⊕ (~½ ⊗ ~½)) = ((½ ⊗ ½) ⊕ (½ ⊗ ½)) = (0 ⊕ 0) = 0, tymczasem (½ ↔ ½) = 1, i tak samo ((½ ∧ ½) ⊕ (~½ ∧ ~½)) = ((½ ∧ ½) ⊕ (½ ∧ ½)) = (½ ⊕ ½) = 1.

Różnica między oboma rodzajami równoważności uzasadnia wprowadzenie symbolu ≡ do zapisu formuł logicznych i używanie pojęcia identyczności (odpowiedniości) logicznej. Symbol ten informuje bowiem, że wyrażenia po obu jego stronach mają taką samą wartość logiczną. Znak równoważności natomiast o tym nie informuje, równoważność bowiem nie musi być prawdziwa. Jeśli zapiszemy p ⇔ q, i okaże się, że p = ½, to z faktu tego nie możemy wyciągnąć żadnych wniosków na temat q. Obojętnie bowiem, czy q = 1, q = ½ czy też q = 0, i tak równoważność p ⇔ q będzie miała taką samą wartość logiczną ½. Natomiast jeśli zapiszemy p ≡ q, wówczas dla p = ½ wiadomo będzie, że także q = ½, a nie 1 czy 0.

Ekskluzję (alternatywę rozłączną) zdefiniować można (w przypadku związków dwuargumentowych) jako negację równoważności. Oprócz ekskluzji klasycznej (⊻) rozpatrzymy również ekskluzję Łukasiewicza (⊽), której wartość logiczną możemy policzyć bezpośrednio jako wartość bezwzględną różnicy wartości logicznej obu argumentów (|x − y|).

Zwykle w dwuargumentowej logice trójwartościowej stosuje się tabele, w których wartości pierwszego argumentu (p) wypisuje się w pionie, a wartości drugiego argumentu (q) – w poziomie. Wartość logiczną danego związku odczytuje się w kratce leżącej w określonym wierszu i określonej kolumnie. Oto tabele pięciu podstawowych związków klasycznych:

 

A oto tabele dla dodatkowych związków Łukasiewicza:

 

Różni logicy proponowali inną interpretację wartości ½, a co za tym idzie inne matryce związków w logice trójwartościowej. I tak, Bochvar i Kleene zaproponowali, aby wartość ½ rozpatrywać jako stan błędu. Na tej podstawie stworzyli nowe związki słabej koniunkcji (p ∧₊ q), słabej alternatywy (p ∨₊ q) oraz słabej implikacji (p ⇒₊ q), obok zwykłych ich „silnych” odpowiedników; w terminologii Bochvara są to związki wewnętrzne. „Słabe” związki różnią się od zwykłych („silnych”) tym, że ich wartością jest stan błędu (½), gdy choć jeden z argumentów jest w takim właśnie stanie (np. 0 ∧ ½ = 0, ale 0 ∧₊ ½ = ½, podobnie ½ ⇒ 1 = 1, ale ½ ⇒₊ 1 = ½). Na podobnej zasadzie można utworzyć słabe odpowiedniki innych związków logicznych. Równoważność i ekskluzja w tej logice nie różnią się niczym od klasycznych.

Uwaga: w odniesieniu do logiki Bochvara i Kleenego panuje w źródłach niesamowite zamieszanie, por. np. Malinowski G., Many-Valued Logics, Oxford Science Publications, oraz artykuł Many-Valued Logic [w:] Stanford encyclopaedia of Philosophy z odwrotną terminologią związków słabych i silnych; w artykule tym podaje się ponadto 0 ⇒₊ ½ = 1, co jest informacją w najwyższym stopniu niewiarygodną.

A oto tabele związków słabych Kleenego, będących jednocześnie związkami wewnętrznymi Bochvara:

 

Bochvar wprowadził też związki „zewnętrzne”, których rezultatem nie może być stan błędu (½). W tej logice podwójne przeczenie nie odpowiada zdaniu wyjściowemu, ponadto obok negacji wprowadza się nowy związek jednoargumentowy: asercję, oznaczaną zwykle literą a. Oto tabele tych związków:

 

Istnieje także trójwartościowa logika Sobocińskiego, w której wartość ½ interpretowana jest jako „nieistotne” lub „nie dotyczy”. Wówczas ½ uzyskiwane jest jako rezultat tylko wtedy, gdy oba argumenty mają wartość ½. Oto tabele:

 

Zebranie wartości logicznej dwuargumentowych związków w logice trójwartościowej

p	q	związki klasyczne
		p ∧ q	p ↓ q	p ∨ q	p | q	p ⊻ q	p ⇔ q	p ⇒ q	p ⇐ q	p ↛ q	p ↚ q
1	1	1	0	1	0	0	1	1	1	0	0
1	½	½	0	1	½	½	½	½	½	½	½
1	0	0	0	1	1	1	0	0	1	1	0
½	1	½	0	1	½	½	½	1	½	0	½
½	½	½	½	½	½	½	½	½	½	½	½
½	0	0	½	½	1	½	½	½	1	½	0
0	1	0	0	1	1	1	0	1	0	0	1
0	½	0	½	½	1	½	½	1	½	0	½
0	0	0	1	0	1	0	1	1	1	0	0

(1 – prawda, ½ – jeszcze nie wiadomo, 0 – fałsz)

p	q	związki Łukasiewicza
		p ⊗ q	p ⊖ q	p ⊕ q	p ⊘ q	p ⊽ q	p ↔ q	p → q	p ← q	p ↛ q	p ↚ q
1	1	1	0	1	0	0	1	1	1	0	0
1	½	½	0	1	½	½	½	½	1	½	0
1	0	0	0	1	1	1	0	0	1	1	0
½	1	½	0	1	½	½	½	1	½	0	½
½	½	0	0	1	1	0	1	1	1	0	0
½	0	0	½	½	1	½	½	½	1	½	0
0	1	0	0	1	1	1	0	1	0	0	1
0	½	0	½	½	1	½	½	1	½	0	½
0	0	0	1	0	1	0	1	1	1	0	0

(1 – prawda, ½ – niepewność, 0 – fałsz)

p	q	związki Bochvara i Kleenego
		p ∧+ q	p ↓+ q	p ∨+ q	p |+ q	p ⊻+ q	p ⇔+ q	p ⇒+ q	p ⇐+ q	p ↛+ q	p ↚+ q
1	1	1	0	1	0	0	1	1	1	0	0
1	½	½	½	½	½	½	½	½	½	½	½
1	0	0	0	1	1	1	0	0	1	1	0
½	1	½	½	½	½	½	½	½	½	½	½
½	½	½	½	½	½	½	½	½	½	½	½
½	0	½	½	½	½	½	½	½	½	½	½
0	1	0	0	1	1	1	0	1	0	0	1
0	½	½	½	½	½	½	½	½	½	½	½
0	0	0	1	0	1	0	1	1	1	0	0

(1 – prawda, ½ – błąd, 0 – fałsz)

p	q	związki Sobocińskiego
		p ∧S q	p ↓S q	p ∨S q	p |S q	p ⊻S q	p ⇔S q	p ⇒S q	p ⇐S q	p ↛S q	p ↚S q
1	1	1	0	1	0	0	1	1	1	0	0
1	½	1	0	1	0	1	0	0	1	1	0
1	0	0	0	1	1	1	0	0	1	1	0
½	1	1	0	1	0	1	0	1	0	0	1
½	½	½	½	½	½	½	½	½	½	½	½
½	0	0	1	0	1	1	0	0	1	1	0
0	1	0	0	1	1	1	0	1	0	0	1
0	½	0	1	0	1	1	0	1	0	0	1
0	0	0	1	0	1	0	1	1	1	0	0

(1 – prawda, ½ – nieistotne, 0 – fałsz)

Implikacja doczekała się jeszcze innych odmian w logice trójwartościowej. Gödel zaproponował, aby przyjmować, że implikacja jest prawdziwa (1), jeśli poprzednik nie ma większej wartości logicznej niż następnik (gdy x ≤ y). W przeciwnym wypadku (x > y) wartość logiczna implikacji byłaby taka sama jak wartość następnika. W porównaniu z implikacją klasyczną dostrzeżemy następujące różnice:

• ½ →_G ½ = 1 (jak u Łukasiewicza),
• ½ →_G 0 = 0 (a nie ½).

Gödel jest także autorem oryginalnej koncepcji negacji: negacją zdania fałszywego jest zdanie prawdziwe, każda inna negacja jest zdaniem fałszywym. Innymi słowy, negacja Gödla przybiera tylko dwie wartości, prawdy i fałszu.

Logika czterowartościowa

W najbardziej znanym modelu logiki tego typu (logika Dunna i Belnapa) przyjęto cztery następujące wartości:

• N – brak informacji (None),
• F – fałsz (False),
• T – prawda (True),
• B – informacje sprzeczne (Both).

Wartości tych nie da się przedstawić w postaci liczb, choć można je uporządkować: F jest wartością niższą niż N, ale także niższą niż B, wartość T jest natomiast wyższa niż N i B. Nie da się natomiast uporządkować względem siebie N i B. Spośród związków logicznych definiuje się negację, koniunkcję i alternatywę. Negacja zmienia prawdę i fałsz, ale pozostawia N i B. Wartości logiczne koniunkcji i alternatywy oblicza się jak w logice tradycyjnej – koniunkcja przybiera wartość niższą, natomiast alternatywa wyższą z wartości obu argumentów. Przy zbiegu N i B koniunkcja ma wartość F, natomiast alternatywa – T. Właściwości te prezentują tabele poniżej (pierwszy argument podano w lewej kolumnie, drugi w górnym wierszu).

Koniunkcja	Negacja	Alternatywa
∧ N F T B N N F N F F F F F F T N F T B B F F B B	N F T B ¬ N T F B	∨ N F T B N N N T T F F F T B T T T T T B T B T B

Logika rozmyta

Tworzone są również systemy rozpatrujące nieskończenie wiele wartości, a więc takie, w których wartość logiczna zdań jest dowolną liczbą rzeczywistą z przedziału <0; 1>. Wartości logiczne związków w logice rozmytej oblicza się podobnie jak w logice trójwartościowej, istnieją też podobnie różnorodne odmiany związków. Uwagę zwracają kompromisowe sposoby obliczania wartości logicznych jako średnich arytmetycznych z wartości związków klasycznych i Łukasiewicza.

I tak, wartość logiczną koniunkcji oblicza się, mnożąc wartości argumentów (xy). Wówczas np. ½ ∧ ½ = ¼; wartość ta jest średnią wartości koniunkcji klasycznej (½) i koniunkcji Łukasiewicza (0). Łatwo sprawdzić, że dla innych kombinacji wartości 0, ½, 1 otrzymujemy wynik taki sam jak w koniunkcji klasycznej.

Zgodnie z drugim prawem de Morgana zaprzeczenie alternatywy odpowiada koniunkcji zaprzeczeń: ~(p ∨ q) ≡ (~p ∧ ~q), z czego wynika, że alternatywa jest zaprzeczeniem koniunkcji zaprzeczeń: (p ∨ q) ≡ ~(~p ∧ ~q). Pamiętając, że jeśli zdanie p ma wartość x, to zdanie ~p ma wartość 1 − x, otrzymamy wyrażenie na obliczanie alternatywy: 1 − (1 − x)(1 − y). Jak nietrudno policzyć, jest ono równe x + y − xy, a zatem wartość logiczną alternatywy oblicza się dodając wartości argumentów, a następnie od wyniku odejmując ich iloczyn. Wówczas np. ½ ∨ ½ = ¾, ponieważ ½ + ½ − ½·½ = 1 − ¼ = ¾. Podobnie jak w przypadku koniunkcji, otrzymana wartość jest średnią arytmetyczną wartości alternatywy klasycznej (½) i Łukasiewicza (1).

Implikacja odpowiada alternatywie negacji poprzednika oraz następnika, zatem zgodnie z wzorem na wartość alternatywy obliczymy wartość implikacji jako (1 − x) + y − (1 − x)y. Po uproszczeniu otrzymamy formułę 1 − x + xy. Zgodnie z nią np. ½ ⇒ ½ = ¾, ponieważ 1 − ½ + ½·½ = ½ + ¼ = ¾. Raz jeszcze wynik okazuje się średnią arytmetyczną wartości implikacji klasycznej (½) i Łukasiewicza (1).

Bez problemu można ustalić wzory na wartości logiczne:

• dysjunkcji: 1 − xy,
• binegacji: (1 − x)(1 − y) czyli 1 − x − y + xy,
• równoważności (biimplikacja, ⇔): (1 − x + xy)(1 − y + xy),
• ekskluzji: 1 − (1 − x + xy)(1 − y + xy).

W podanych formułach przyjęto, że równoważność jest biimplikacją – koniunkcją implikacji prostej i odwrotnej. Gdyby jednak określić równoważność jako alternatywę koniunkcji obu zdań i koniunkcji ich negacji (symbol ≡), wówczas formuła przybierze postać 1 − (1 − xy)(1 − (1 − x)(1 − y)), a jej wartości w ogólnym przypadku będą inne niż wtedy, gdy zastosujemy pierwszą formułę. Dla przykładu ½ ⇔ ½ = 7⁄16, ale ½ ≡ ½ = 9⁄16.

Jeśli w logice rozmytej dopuścimy związki wielu argumentów, formułą dla koniunkcji pozostanie iloczyn ich wartości logicznej. Formułę dla alternatywy znajdziemy jak wyżej, z drugiego prawa de Morgana, podobnie łatwo ustalimy wzory dla dysjunkcji i negacji łącznej. Dla związków trzech argumentów formuły te przedstawiają się następująco:

• koniunkcja: xyz,
• alternatywa: 1 − (1 − x)(1 − y)(1 − z),
• dysjunkcja: 1 − xyz,
• negacja łączna: (1 − x)(1 − y)(1 − z).

Z pozostałych związków częściej możemy spotkać się z równoważnością. Z uwagi na kłopoty ze sformułowaniem definicji implikacji dla wielu argumentów, równoważność określamy jako związek prawdziwy wówczas, gdy wszystkie jego argumenty są prawdziwe lub gdy wszystkie są fałszywe, zatem odpowiada mu alternatywa koniunkcji zdań i ich negacji. Na podstawie tej własności otrzymamy formułę dla trzech argumentów: 1 − (1 − xyz)(1 − (1 − x)(1 − y)(1 − z)).

Różne systemy logiczne a logika uniwersalna

Istnienie różnych systemów logicznych, często – jak się wydaje – sprzecznych ze sobą, jest zdaniem pewnych ludzi dowodem na to, że tak naprawdę świat nie jest logiczny albo kieruje się inną logiką niż ta, którą stworzył człowiek. Tego rodzaju stwierdzenia w opinii ich autorów dowodzą jakoby głębokiego zrozumienia istoty logiki.

Tymczasem jest zupełnie inaczej. Upieranie się przy tym, że rzeczywistość nie opiera się na logice, albo że można ją opisywać w zupełnie dowolny sposób, jest w rzeczywistości dowodem bardzo płytkiego rozumienia logiki, a może nawet niezdolności do zrozumienia istoty zróżnicowania systemów logicznych. Tak naprawdę bowiem rzeczywistość kieruje się jedną jedyną, uniwersalną logiką, i nie ma nawet najmniejszej możliwości, by pojmować ją przy pomocy „logiki alternatywnej”, cokolwiek miałoby to oznaczać.

Skąd zatem zróżnicowanie systemów logicznych? Otóż stąd, że nasza wiedza o świecie nie jest pełna. Dwuwartościowa logika klasyczna ma zastosowanie tylko wówczas, gdy każdemu analizowanemu stwierdzeniu da się z absolutną pewnością przypisać wartość logiczną prawdy lub fałszu. Różne systemy logiki wielowartościowej stanowią natomiast próbę poszerzenia analizy logicznej także na te wypadki, gdy nie mamy pełnej wiedzy o prawdziwości analizowanych zjawisk. Często jest tak, bo wiedzy takiej dotąd nie zdobyliśmy, bywa też tak, że nie jest ona w ogóle możliwa do zdobycia. Czasami zjawiska nie mają charakteru ściśle zdeterminowanego, i zawierają w sobie z natury element losowości. Wówczas przypisanie pewnym stwierdzeniom wartości prawdy bądź fałszu nie jest możliwe. Wreszcie zdarza się, że złożone zjawiska można opisywać jako częściowo prawdziwe (częściowo fałszywe), i takie właśnie podejście ułatwia ich analizę.

Logika klasyczna zatem była, jest i będzie uniwersalna w ściśle określonych warunkach – dopóki analizuje stwierdzenia jednoznacznie prawdziwe lub jednoznacznie fałszywe. Różne systemy logiki wielowartościowej nie stanowią więc dla niej żadnej alternatywy. Po prostu opracowano je po to, by w ogóle móc zastosować logikę w sytuacjach, gdy podany warunek nie jest spełniony. Warto przy tym zauważyć, że także przy zastosowaniu różnego rodzaju „logiki alternatywnej”, dopóki mamy do czynienia wyłącznie z prawdą i fałszem, dopóty wyniki analizy są dokładnie takie same, jak przy zastosowaniu logiki klasycznej. Wszelkie zaś rozbieżności teoretyczne dotyczą jedynie sytuacji, gdy warunki stosowania tejże logiki nie są zachowane (a więc gdy analizujemy zdania, którym przypisuje się wartość logiczną inną niż 0 lub 1).

Linki

• Serwis matematyczny: logika
• Logika u podstaw
• Program sprawdzający tautologiczność formuł zdaniowych rachunku zdań
• The Propositional Logic Calculator

 

Artykuł został opublikowany także na witrynie autora pod adresem http://grzegorj.5v.pl/logika/zwlog.html