Zbiór liczb naturalnych
Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnym mamy na myśli liczby należące do zbioru . Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy .
DEFINICJA Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór . |
Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.
Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez , a i-ta liczba pierwsza przez pi np. p3 = 5.
Zbiór liczb całkowitych
DEFINICJA Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór . |
Ponadto zbiór liczb całkowitych możemy podzielić na dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez , natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez . Łatwo zauważyć, że .
W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez (jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).
Zbiór liczb wymiernych
DEFINICJA Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego , gdzie i . |
Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez , a ujemnych przez .
W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez .
Zbiór liczb niewymiernych
DEFINICJA Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. tych, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego , dla i |
Zbiór liczb niewymiernych nie ma ogólnie przyjętego międzynarodowego oznaczenia. Możemy go zapisać wykorzystując polskie oznaczenie (które nie jest wykorzystywane na całym świecie), czy też jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: .
Przykładem liczby niewymiernej może być liczba , czy też .
Zbiór liczb rzeczywistych
DEFINICJA Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych. |
Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez , a ujemnych przez .
Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:
Rozwinięcie dziesiętne
Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np. Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.
Przyjrzyjmy się bliżej liczbie . Na pewno pamiętamy, że . Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:
- , ponieważ
- 3 + x = 10x
Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.
Innym przykładem, trochę trudniejszym jest . Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa . Zobaczmy na rozwiązanie:
- , ponieważ
- 123 + x = 1000x
Szukaną liczbą jest .
Liczbę możemy zapisać także w formie Podobnie możemy zapisać jako a także W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.
Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera a także liczba Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.
Treść udostępniana na licencji GNU Free Documentation License . Źródło: Wikibooks.pl
Autor: Wikibooks