Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy

Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach
0fa2d23c084d8526f2e36165e82d19c4.gif
Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°.
a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif + 6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif + 21d9c2c772f1737b968c7d180740c5bc.gif = 180°.

Każdy bok trójkąta jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych boków tego trójkąta.
|AB| < |AC| + |BC|, |AC| < |AB| + |BC| i |BC| < |AB| + |AC|


Wysokości trójkąta

Wysokością trójkąta nazywamu odcinek poprowadzony z wierzchołka trójkąta prostopadle do przeciwległego boku lub do przedłużenia tego boku.
Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają sie w jednym punkcie zwanym ortocentrum (p.O).

cdcda9c7939f2a821dd8e9de83843d61.gif


Środkowe boków trójkąta

 

b37075a8eeab6cc173d650376f682628.gif
|DS| = 71d0961eeac21a19f40b4a2b34ee7b76.gif|CD|, |ES| = 71d0961eeac21a19f40b4a2b34ee7b76.gif|AE|
oraz |FS| = 71d0961eeac21a19f40b4a2b34ee7b76.gif|BF|
Środkową boku trójkąta nazywamy odcinkiem łączącym środek tego boku z przeciwległym bokiem tego trójkąta. Każdy trójkąt ma trzy srodkowe przecinające się w jednym punkcie (p.S), który nazywamy środkiem ciężkości tego trójkąta.

Punkt S (środek ciężkości) dzieli każdą środkową w stosunku 1:2, czyli:
|DS| = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gif|CS|, |ES| = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gif|AS| oraz |FS| = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gif|BS|.


Odcinki łączące środki boków trójkąta

 

84c71ce02014900ffc6733b0890f0454.gif Odcinki łączące środki boków trójkąta są równoległe do przeciwległych boków i równe ich połowie.

DF||AB i |DF| = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gif|AB|, EF||AC i |EF| = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gif|AC| oraz DE||BC i |DE| = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gif|BC|


Dwusieczne kątów trójkąta

 

1f957bca0213d954f6ba7e08e20ae20a.gif Dwusieczna kąta jest to półprosta dzieląca kąt na połowy.
Każdy trójkąt ma trzy dwusieczne przecinające się w jednym punkcie (p.O), który jest środkiem koła wpisanego w trójkąt.



Symetralne boków trójkąta

 

6e56854ce875c1e52376abe14023d4bf.gif Symetralną boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą do tego boku, przechodzącą przez jego środek.
Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w jednym punkcie (p.O), który jest środkiem koła opisanego na tym trójkącie

Środek O koła opisanego na trójkącie może leżeć wewnątrz lub na zewnątrz trójkąta, a w przypadku trójkąta prostokątngo na jego goku (w połowie przeciwprostokątnej).

Trójkąty nie mają środka symetrii.

1e1cad9cbe739d22d50b23e26e0bc9cd.gif Trójkąt równoramienny ma jedną oś symetrii i jest ona jednocześnie dwusieczną kąta (21d9c2c772f1737b968c7d180740c5bc.gif) zawartego między ramionami oraz pokrywa się z wysokością figury, symetralną i środkową podstawy.

9edd507c793e562f57bd661c911f367a.gif Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii, które są jednocześnie dwusiecznymi kątów, wysokościami, symetralnymi i środkowymi boków figury.

Punkt przecięcia (C) osi symetrii jest środkiem koła wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym.



RODZAJE TRÓJKĄTÓW

Podział trójkątów ze względu na boki
równoboczny
(dowolny)

6b0fbb092ff87f10105005a02b27dbe4.gif
Każdy bok ma inną długość i każdy kąt ma inną miarę.
równoramienny
086455a6781693863b654642389baa70.gif
Ma dwa boki równe i nazywamy je ramionami.
Trzeci bok to podstawa.
Kąty przy podstawie mają tę samą miarę.
równoboczny
2755f863918b0745f967164b9deb3ebc.gif
Ma wszystkie boki równej długości.
Wszystkie kąty wewnętrzne są równe i mają po 60°.



Podział trójkątów ze względu na kąty
ostroktny
(dowolny)

a25d3c17ac45edfd1986a9b3040c1900.gif
a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif < 90°
6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif < 90°
21d9c2c772f1737b968c7d180740c5bc.gif < 90°
Każdy kąt wewnętrzny jest kątem ostrym.
prostokątny
67b96d7b5839395dc2ecaa1e8d191cd9.gif
C = 90°, a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif < 90° i 6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif < 90°
Ma jeden kąt prosty, a dwa pozostałe są ostre i takie, że a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif + 6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif = 90°
rozwarty
2960e7a799bada719d64a7dadc0af419.gif
a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif < 90°
6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif > 90°
21d9c2c772f1737b968c7d180740c5bc.gif < 90°
Ma jeden kąt rozwarty, a dwa pozostałe są ostre.



PODZIAŁ TRÓJKĄTÓW ZE WZGLĘDU NA BOKI I KĄTY

 

ostrokątny

prostokątny

rozwartokątny

równoboczny (dowolny)

0274911d0e4912bcbce3a5fc06200773.gif
a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif < 90°
6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif < 90°
21d9c2c772f1737b968c7d180740c5bc.gif < 90°
23b2e61142d7e78eceaede4e29f7afaf.gif
cf4c2cc1691ae22cc821fa17d327a429.gifC = 90°
a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif + 6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif = 90°
34e0e16a0e0f0de049b5c0eee78c519d.gif
90° < a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif < 180°
a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif < 90° i 6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif < 90°

równoramienny

042815148a7431cac3e95ff6bf89d005.gif
a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif = 6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif, a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif < 90°
6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif < 90°, 21d9c2c772f1737b968c7d180740c5bc.gif < 90°
e1f960c43d7bb75c7549ba0e7922d6ce.gif
a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif = 6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif = 45°
cf4c2cc1691ae22cc821fa17d327a429.gifC = 90°
3bbf016aca92a09fa3c98da2af93f37d.gif
a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif = 6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif, a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif < 90°
6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif < 90°
90° < 21d9c2c772f1737b968c7d180740c5bc.gif < 180°

równoboczny

4126d1316849021568daef00da50bbe2.gif
a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif = 60°
Nie ma
takiego
trójkąta
Nie ma
takiego
trójkąta





CECHY PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW

 

I cecha
38ce32eb1e13a6c8ad51c9aa5f1bb0bb.gif
Jeżeli boki jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające.

|AB| = |A1B1|, |BC| = |B1C1| oraz |AC| = |A1C1|, to a940b4f6aad64e11b77d628fc92647fd.gifABC af4d7ca35a53927a0ca8888af3d3bbc1.gif a940b4f6aad64e11b77d628fc92647fd.gif A1B1C1


II cecha
f5e43d9c88e8ff82ce3baaf2c0745167.gif
Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków i kąta zawartego między nimi w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

|AB| = |A1B1|, |AC| = |A1C1| i a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif = a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif1, to a940b4f6aad64e11b77d628fc92647fd.gifABC af4d7ca35a53927a0ca8888af3d3bbc1.gif a940b4f6aad64e11b77d628fc92647fd.gif A1B1C1


III cecha
e3b18f34a9116146014777face395ab4.gif Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiedniego boku i kątów do niego przyległych w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

|AB| = |A1B1|, a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif = a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif1 oraz 6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif = 6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif1, to a940b4f6aad64e11b77d628fc92647fd.gifABC af4d7ca35a53927a0ca8888af3d3bbc1.gif a940b4f6aad64e11b77d628fc92647fd.gif A1B1C1



CECHY PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW PROSTOKĄTNYCH

 

I cecha Przyprostokątne jednego trójkąta są odpowiednio równe (przystające) przyprostokątnym drugiego trójkąta.
II cecha Przyprostokątna i kąt ostry do niej przeciwległy jednego trójkąta są odpowiednio równe przyprostokątnej i kątowi do niej przyległemu w drugim trójkącie.
III cecha Przyprostokątna i kąt do niej przeciwległy jednego trójkąta są odpowiednio równe przyprostokątnej i kątowi do niej przyległemu w drugim trójkącie.
VI cecha Przeciwprostokątna i jeden z kątów ostrych jednego trójkąta są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i jednemu z kątów ostrych w drugim trójkącie.
V cecha Przeciwprostokątna i jedna z przyprostokątnych jednego trójkąta są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i jednej z przyprostokątnych w drugim trójkącie.





CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW
Własność, która pozwala na określenie podobieństwa pewnej rodziny figur, nazywa się cechą podobieństwa figur tej rodziny.

Wyróżniamy trzy cechy podobieństwa trójkątów:

 

I cecha
a34c0dc59f922078c3b7b1e363b7f821.gif
a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif1 = a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif2 oraz 6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif1 = 6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif2
Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich kątów drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.


II cecha
dd8e2616871e103be40f4477ae2044f1.gif
7299d254e0dc58b9d43d57441c4c198e.gif
Jeżeli stosunki wszystkich boków jednego trójkąta do odpowiednich boków drugiego trójkąta są równe, to trójkąty są podobne.


III cecha
d36aa062c3b582edf7b08b809bb2d4b8.gif
2df2b76f6c380db6562554a1c027e211.gif
oraz a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif1 = a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif
Jeżeli stosunki dwóch boków jednego trójkąta do odpowiednich boków drugiego trójkąta są równe oraz kąty zawarte między tymi bokami są przystające (równe), to trójkąty te są podobne.




CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW PROSTOKĄTNYCH

 

I cecha
d99908766be6aa3b2b6a4125cb5f575d.gif
a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif1 = a2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif lub 6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif1 = 6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif
Jeżeli dwa trójkąty prostokątne mają po jednym kącie ostrym przystającym, to te trójkąty są przystające.


II cecha
06ec9be16baec6dbab08897bf16641e7.gif
b628aefd6dc441380d1ef2b524df4cb8.gif
Jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości przyprostokątnych drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.


III cecha
26fae49f5bf8dcee0af6ed79b929be91.gif
ae79b0ec9453699677a4987ac98b9cb5.gif
Jeżeli stosunek długości przyprostokątnej do długości przeciwprostokątnej jednego trójkąta jest równy stosunkowi odpowiedniej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

Można też rozpatrywać stosunki przeciwprostokątnych do odpowiednich przyprostokątnych.




OBWÓD TRÓJKĄTA

 

różnoboczny

równoranienny

równoboczny

e6231018d85c9abbfc4b3020e4016192.gif 0771d418744d9fdb7da14ffda515a5f9.gif 4555684fb9f69f4d896e1756c07f6622.gif
L = a + b + c L = a + 2b L = 3a





POLE TRÓJKĄTA

 

ededfac0e4ac2acf3cef05b9fee52023.gif

2acc5b8965cec079bb9924ede9d22fe4.gif

e69f62cfb4314882cfeb47c0607913b5.gif

004883b1ba92294d375e2b5370f59012.gif

3190be1dcf10944f823874f46bab8d92.gif

P = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gifa 760f18728f76e78a74776794cc904bbc.gif h1
P = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gifb 760f18728f76e78a74776794cc904bbc.gif h2
P = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gifc 760f18728f76e78a74776794cc904bbc.gif h3

P = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gifab sin21d9c2c772f1737b968c7d180740c5bc.gif
P = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gifac sin6b2d82e14571f60d4223ba55d330e56c.gif
P = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gifbc sina2b622d67734e37dc3f96011a05823bf.gif

P = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gifa 760f18728f76e78a74776794cc904bbc.gif h
lub
P = dd5ac8892e59def8f5b930450fa6cd98.gif

P = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gifa 760f18728f76e78a74776794cc904bbc.gif b
lub
P = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gifc 760f18728f76e78a74776794cc904bbc.gif h

P = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gifa 760f18728f76e78a74776794cc904bbc.gif H
lub
P = dc30fef0e57c5e90cec09dad045f738a.gifb 760f18728f76e78a74776794cc904bbc.gif h


TWIERDZENIE PITAGORASA

 

362194315ad6f7834bd93a63ef3a296e.gif Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

a2 + b2 = c2

TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA PITAGORASA

Jeżeli w trójkącie o bokach długości a, b i c zachodzi równość a2 + b2 = c2, to trójkąt jest prostokątny.




OKRĄG OPISANY NA TRÓJKACIE
07f74a4f22c3540ebd2900a59299655c.gif Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środkiem okręgu opisanego jest punkt przecięcia się symetralnych boków trójkąta.

19dc0de31420d82f44fda7ec1731a551.gif Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej.

839a3ce6c2410f3b2f2d08a3a2e854b2.gif Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym i środek okręgu wpisanegow trójkąt równoboczny pokrywają się.

Promień okręgu opisanego jest: R = a88d5f457ad157b567b4aae04917a9cb.gifh.
Promień okręgu wpisanego jest: r = 71d0961eeac21a19f40b4a2b34ee7b76.gifh.
Zależność między obydwoma promieniami: R = 2r.


Opracował: Krzysztof Leszczyński & Marta Sulowska

 

Źródło: matematyka.net

Licencja: Creative Commons - bez utworów zależnych