Paradoks urodzinowy

Jak liczna powinna być grupa osób, by prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie spośród nich obchodzą urodziny tego samego dnia było większe niż 50%?

 

Jak liczna powinna być grupa osób, by prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie spośród nich obchodzą urodziny tego samego dnia było większe niż 50%?

Spróbuj urządzić plebiscyt wśród znajomych (bez przeprowadzania obliczeń, naturalnie). Jest niemal pewne, że wszyscy podadzą w odpowiedzi liczby większe od poprawnego wyniku. Wynosi on bowiem… 23.

Gdybyśmy zażądali, by prawdopodobieństwo przekroczyło 70%, to liczebność grupy musiałaby wynosić co najmniej 30; gdybyśmy byli zainteresowani prawdopodobieństwem 90% - 41, 95% - 47. Gdy grupa liczy ponad 57 osób, to prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich obchodzą urodziny tego samego dnia wynosi 99%!

Uzupełnienie:

Najprostszy sposób obliczeń polega na obliczeniu prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego, (tzn. że w danej grupie n ludzi nie wystąpi para osób o tym samym dniu urodzin), następnie zaś odjęciu otrzymanego wyniku od 1.
Mamy zatem wzór na szukane prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:

 


gdzie k-ty czynnik iloczynu jest prawdopodobieństwem, że k-ta osoba w grupie nie ma wspólnego dnia urodzin z (k-1) poprzednikami. Z pewnym trudem da się to policzyć nawet na kalkulatorze.

Oczywiście nie ma jednak sensu wykonywanie takich obliczeń bezpośrednio; aby wykonać je szybko posłużmy się wzorem przybliżonym, który pozwala zastąpić (dla i dużo mniejszych niż n)

 


przez

 


Stąd, dla k dużo mniejszych niż 365, prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest

 


i dla k = 23 wyrażenie to ma wartość 0,499998, czyli niemal dokładnie 50%.

 

Źródło: http://matma.wetpaint.com/page/***+Paradoks+urodzinowy

Licencja: Creative Commons - na tych samych warunkach