Laurent Lafforgue

TRIBUNE. « De l’utilité des mathématiques pour comprendre la dynamique des épidémies »

Pourquoi les pays d’Asie du Sud-Est ont-ils mieux réussi que les pays occidentaux à enrayer l’épidémie du coronavirus ? Pour le mathématicien Laurent Lafforgue, chercheur et enseignant, l’explication est à chercher du côté de la faiblesse de notre culture en maths et, en amont, de l’appauvrissement de l’enseignement de cette matière à l’école.

Par Laurent Lafforgue (professeur à l’Institut des hautes études scientifiques, médaille Fields de mathématiques)

Publié le 25 mai 2020 à 11h48 

 

 

L’épidémie de Covid a vu les pays occidentaux réagir bien moins vite que les pays d’Extrême-Orient comme le Vietnam, Taïwan, la Corée du Sud ou même la Chine alors que, contrairement aux autres pays, celle-ci a été surprise puisque frappée en premier. Or la rapidité de réaction est un facteur encore plus important que les capacités de test et de traçage pour contenir une épidémie et limiter le nombre final des victimes.

Il semble que les décideurs et la population aient eu un plus grand sentiment d’urgence en Extrême-Orient qu’en Occident grâce à une meilleure compréhension de la dynamique d’une épidémie fondée sur des mathématiques de base : la notion de proportionnalité (ce que l’on appelait autrefois la « règle de trois »), l’idée que le nombre de nouvelles contaminations est grosso modo proportionnel à celui des personnes contagieuses, sa conséquence qui est que ces nombres croissent « géométriquement », la compréhension que ce qui importe dans une progression géométrique n’est pas ses premières valeurs mais leur coefficient d’expansion.

Ce coefficient dépend du fameux R0 – le nombre moyen de personnes que chaque personne infectée contamine à son tour – mais aussi du temps moyen entre deux contaminations. Ce dernier facteur est plus important que le R0. Il pouvait être estimé dès la fin janvier par les statistiques publiques chinoises, avant d’être confirmées par celles de l’Italie puis des autres pays occidentaux à partir de la fin février. La nature « géométrique » de la progression d’une épidémie signifie que chaque intervalle de temps de retard dans la réaction multiplie le nombre final des victimes par ce coefficient.

L’explication que je donne ici n’est pas un argument d’autorité émanant d’un « sachant ». Elle est fondée sur un raisonnement et des mathématiques de base compréhensibles au plus grand nombre. Les mathématiques qui sont (ou devraient) être enseignées au collège et au lycée ne sont pas seulement ni d’abord un moyen d’obtenir de bonnes notes. Elles permettent d’analyser des aspects essentiels de la réalité et peuvent par exemple sauver d’innombrables vies en situation d’épidémie.

Le constat qu’en Occident les décideurs et les faiseurs d’opinion n’ont manifestement pas fait ces estimations élémentaires, ou ne les ont pas assez prises au sérieux, en dit long sur les déficiences de l’enseignement de base, particulièrement de celui des mathématiques, en France et dans les autres pays occidentaux depuis des décennies.

Les mathématiques élémentaires de niveau lycée ou fin du collège permettent en effet de se faire une idée de la progression des épidémies. Avant qu’elles n’atteignent une partie importante de la population, c’est une progression dite « géométrique » ou « exponentielle ».

Dans le cas de l’épidémie de Covid, l’examen des statistiques de mortalité du Covid en Chine puis dans les principaux pays occidentaux montre que l’ampleur de l’épidémie était multipliée par au moins 10 tous les dix jours, autrement dit par au moins 2 tous les 3 jours.

Cette dynamique a été interrompue par les mesures de distanciation sociale et de confinement, mais le nombre des morts de la première vague que nous avons connue est grosso modo proportionnel au niveau atteint par l’épidémie au moment où ces mesures ont été prises.

Cela signifie que si ces mesures avaient été prises 10 jours plus tôt, nous aurions aujourd’hui seulement quelques milliers de morts au lieu de dizaines de milliers. Si elles avaient été prises 3 jours plus tôt, nous aurions environ 2 fois moins de morts.

En revanche, si ces mesures avaient été prises 10 jours plus tard, nous aurions aujourd’hui des centaines de milliers de morts.

Nous ne savons pas encore si le « déconfinement » a ramené, ou non, le coefficient de progression de l’épidémie au-dessus de 1. S’il s’avérait qu’il était au-dessus de 1, il faudrait prendre le plus vite possible des nouvelles mesures de distanciation sociale et de confinement au moins partiel de façon à ne pas démultiplier le nombre de morts de la « deuxième vague ».

Estimation informelle

Une bonne approximation de la dynamique des épidémies avant qu’elles ne commencent à approcher de la saturation, c’est-à-dire n’affectent une partie importante de la population, est fondée sur une idée simple : chaque jour, le nombre de nouvelles contaminations est proportionnel au nombre des personnes contagieuses ce jour-là, autrement dit celles qui ont été contaminées quelques jours auparavant. Il est en effet naturel de penser que si par exemple 10 personnes contagieuses en contaminent 30 autres, alors 50 personnes contagieuses en contaminent 150, 100 personnes contagieuses en contaminent 300, etc. Ce principe ne commence à s’écarter de la réalité que lorsqu’une partie de plus en plus importante de la population a déjà contracté la maladie et, en principe, ne peut plus la contracter à nouveau.

Supposons, par exemple, que lorsqu’une personne est contaminée, elle contamine 3 autres individus 5 jours plus tard. Dans la réalité, ces nombres ne sont jamais fixes : le temps pour devenir contagieux varie d’une personne à l’autre, le nombre de personnes contaminées par une personne contagieuse varie également et elles ne le sont pas toutes le même jour. Mais on obtient une approximation raisonnable en remplaçant ces variables par leurs valeurs moyennes. Donc supposons que ces variables soient fixes et valent les nombres indiqués.

Cela implique que pour tout multiple 5N de 5, le nombre de personnes contaminées après 5N jours est multiplié par le produit 3N de 3 par lui-même N fois.

Par exemple, le nombre de personnes contaminées est multiplié par 32 = 9 au bout de 5 + 5 = 10 jours, par 93 = 729 > 700 au bout de 10 + 10 + 10 = 30 jours c’est-à-dire un mois, et par 7292 > 500 000 au bout de deux mois.

Les progressions qui vérifient cette loi (chaque valeur est le produit de la précédente par un facteur constant) sont appelées en mathématiques les « suites géométriques » ou « exponentielles ».

La dynamique d’une épidémie avant qu’elle ne commence à approcher de la saturation suit une telle loi exponentielle. Elle est caractérisée par le nombre de jours qu’il faut par exemple pour obtenir un doublement du nombre des contaminés ou un décuplement. Comme le nombre des morts est naturellement proportionnel à celui des contaminés (avec un décalage dans le temps puisqu’une victime de l’épidémie meurt un certain temps après avoir été contaminée), il revient au même d’évaluer les temps de doublement ou de décuplement des nombres de morts.

Comme les pays occidentaux n’ont pas fait de tests systématiques, leurs statistiques des nombres de contaminés sont très peu fiables. En revanche, leurs statistiques des nombres de morts sont certainement plus fiables.

De plus, il vaut mieux considérer les progressions des nombres totaux de morts comptabilisés jusqu’à chaque jour, plutôt que celles des nombres de morts jour par jour, car elles sont statistiquement plus stables. Elles doivent d’ailleurs suivre la même loi exponentielle.

Toujours pour éviter les aléas statistiques, il faut considérer ces progressions quand elles sortent de la zone des cas isolés, disons au-delà de la valeur 10.

Examinons donc les temps de décuplement dans différents pays occidentaux, avant que les mesures de confinement ou de réduction drastique des contacts rapprochés aient pu faire sentir leurs effets (source : https ://www.worldometers.info/coronavirus/) :

  • Italie : 12 morts au 26 février, 148 morts au 5 mars, 1 809 morts au 15 mars.
  • Espagne : 10 morts au 7 mars, 133 morts au 13 mars, 1 381 morts au 21 mars.
  • France : 16 morts au 7 mars, 175 morts au 17 mars, 1 995 morts au 27 mars.
  • Royaume-Uni : 10 morts au 13 mars, 115 morts au 18 mars, 1 161 morts au 27 mars.
  • Allemagne : 9 morts au 14 mars, 94 morts au 22 mars, 931 morts au 1er avril.
  • Etat de New York : 10 morts au 15 mars, 100 morts au 20 mars, 1 019 morts au 27 mars.

Autrement dit, on obtient le tableau suivant :

  • Italie : multiplication par 12 en 9 jours puis à nouveau par 12 en 10 jours.
  • Espagne : multiplication par 13 en 6 jours puis par 10 en 8 jours.
  • France : multiplication par 11 en 10 jours puis à nouveau par 11 en 10 jours.
  • Royaume-Uni : multiplication par 11 en 5 jours puis par 10 en 9 jours.
  • Allemagne : multiplication par 10 en 8 jours puis à nouveau par 10 en 10 jours.
  • Etat de New York : multiplication par 10 en 5 jours puis à nouveau par 10 en 7 jours.

On constate que le temps de multiplication par 10, propre à l’épidémie de Covid avant que ne soient prises des mesures de lutte contre la contagion, est d’à peine 10 jours. Ce fait apparaissait déjà dans les statistiques publiques chinoises de la fin janvier : 25 morts au 23 janvier et 259 morts au 31 janvier, soit une multiplication par 10 en 8 jours.

Il faut maintenant rappeler les nombres de morts du Covid comptabilisés dans les différents pays aux dates de début des confinements pour mieux comprendre dans quelle mesure chaque pays a été plus ou moins rapide à réagir :

  • Chine : confinement progressif entre le 22 janvier (17 morts) et le 25 janvier (56 morts).
  • Italie : confinement progressif entre le 8 mars (366 morts) et le 10 mars (631 morts).
  • Espagne : confinement progressif entre le 13 mars (133 morts) et le 15 mars (342 morts).
  • France : confinement le 17 mars (175 morts).
  • Royaume-Uni : confinement le 24 mars (508 morts).
  • Allemagne : confinement progressif entre le 16 mars (17 morts) et le 22 mars (94 morts).
  • Etat de New York : confinement le 23 mars (290 morts).

On voit, selon ces statistiques, que la Chine a été la plus rapide, suivie de l’Allemagne, suivie de la France, de l’Espagne et de l’Etat de New York, suivis de l’Italie (qui a été la première frappée en Europe) et du Royaume-Uni. On constate que cet ordre est celui des nombres de victimes plus de deux mois plus tard, lesquels sont de plus relativement proportionnels aux nombres de morts aux dates de confinement. Les écarts par rapport à une proportionnalité plus parfaite s’expliquent principalement par le fait que le confinement n’a pas été le même partout : il a été plus strict en Italie et en Espagne qu’en France, et plus strict aussi dans la province du Hubei (épicentre de l’épidémie en Chine) qu’en Allemagne.

Cela signifie que si l’Italie, l’Espagne, la France, le Royaume-Uni ou l’Etat de New York avaient pris 10 jours plus tard les mesures qu’ils ont prises pour casser la progression exponentielle de l’épidémie, ils auraient déjà chacun plusieurs centaines de milliers de morts.

Pour la même raison, si le confinement avait été décidé 10 jours plus tôt, c’est-à-dire en France le 6 mars, nous aurions aujourd’hui seulement quelques milliers de morts au lieu de dizaines de milliers.

Quant au niveau restant de contamination, il serait au moins dix fois inférieur et bien moins d’efforts seraient encore requis pour éradiquer le Covid.

Malheureusement, le Covid est toujours présent et nous devons tous continuer à faire barrage à sa circulation. Il suffirait que les contacts rapprochés dans la population retrouvent un niveau élevé pendant quelques semaines pour que, un mois ou deux plus tard, nos pays se retrouvent avec des centaines de milliers de morts.

On peut toujours espérer que le Covid devienne moins contagieux lorsque les températures se relèvent, mais le constat que l’épidémie fait rage au Brésil ou au Mexique incite à la plus grande prudence.

Laurent Lafforgue

Le détail des opérations est accessible dans ce PDF.
Laurent Lafforgue (professeur à l’Institut des hautes études scientifiques, médaille Fields de mathématiques)