Próba znalezienia postaci matematycznej krzywej Laffera

Próba znalezienia postaci matematycznej krzywej Laffera

 

Krzywa Laffera jest ekonomiczną interpretacją twierdzenia analizy matematycznej, jeżeli nad odcinkiem rzeczywistym, spójnym, zwartym i domkniętym funkcja analityczna spójna, gładka, dwukrotnie różniczkowalna klasy 34d2ea0b97d6efcfab45194573f3a8f5.gif na końcach tego odcinka przybiera tę samą wartość, a we wnętrzu różną od niej, to ta funkcja ma na tym odcinku co najmniej jedno ekstremum lokalne. W języku symboli matematycznych twierdzenie to wyraża się:

dc424703a4852a906e2672abc3a331a9.gif

Twierdzenie 1

 

Twierdzenie 1 można dowieść z twierdzenia Rolle’a:

Założenie: Funkcja 46bc0b0bb0fe1bf40f113a63e0c24193.gif jest

   ciągła na a471a5ade18a960c02055925f098ccfa.gif,

   różniczkowalna na d24585839239f2392d9581e73e711d44.gif,

   bd35002539082d0d1a956201d134ced3.gif.

Teza: Istnieje 9bc76d6ced2daf5362f8e37429705cdd.gif takie, że 05694344837fbdc84479192926ca8bf0.gif

Twierdzenie 2 Rolle'a

 

Interpretacja ekonomiczna Twierdzenie 1 polega na utożsamieniu argumentu funkcji z wypadkową, zagregowaną stopą obciążeń materialnych i obciążeń równoważnych materialnym dla władzy publicznej (legalnego monopolisty na danym terytorium ekscesu ekstensywnego [mylonego z przemocą]) 0603e1bc07a53b07e800e0aca3a38f8a.gifa=0, T_a=0%, 7a5c8eb3fbd59149a7ff440b9f06e962.gif; samej funkcji z łączną wartością wszystkich danin dla władzy publicznej 51b876e21084861d7961c8fb24d39761.gif. Równa wartość funkcji na końcach odcinka jest wartością zerową 33d942cee1bce1e8d9fb7faa133c9401.gif, wartość funkcji wewnątrz odcinka różna od wartości funkcji na końcach odcinka jest wartością dodatnią 07420c07423d788f01ab67ffe87e0a0f.gif, ekstremum lokalne jest maksimum lokalnym a831bba34abd54fd46ef7873a86d3f99.gif. Stopę i kwotę zazwyczaj wyraża się w liczbach wymiernych, założenia zostały wzmocnione na potrzeby nie analizy matematycznej, tylko ekonomii, przy osłabieniu założeń do minimum koniecznego Twierdzenie 1 przechodzi w twierdzenie Rolle’a z dokładnością do konwencji zapisu wielkości matematycznych.

Wbrew Dzierżawskiemu[2] krzywa Laffera ma postać matematyczną i ma tylko jedno maksimum. Zgadnie z Boltonem[3], że funkcja 3dfe47c8a85e46cb923cfa21a024d2b4.gif ma postać iloczynu stopy opodatkowania 5068bce8f58cc253911c6db9d182b459.gif i podstawy opodatkowania. Utożsamianie podstawy opodatkowania z produktem narodowym brutto (GNP) jest nadmiernym uproszczeniem. Podstawę opodatkowania można utożsamić z sumą wartości wszystkich zaspokojonych potrzeb łącznie. Stopa zgodności (Compliance Rate) wchodzi do funkcji 3dfe47c8a85e46cb923cfa21a024d2b4.gif nie jako mnożnik, tylko wykładnik, o czym dalej. Od samej krzywej Laffera bardziej interesująca jest podstawa opodatkowania. Wyraża się ona równaniem 22fdcee554e3cd891e71686e9d811e88.gif, a krzywa Laffera 5f121e7102cde0c0e4596539e827cd54.gif.

Stopa opodatkowania 5068bce8f58cc253911c6db9d182b459.gif przedstawiona jest na osi odciętych 377e6bb1911140a0e28712afb4310790.gif, a podstawa opodatkowania 8755d4be1534a793325fa2a09d83e2ad.gif i krzywa Laffera 6eee934de7652cd5c7870479fe1f4265.gif na osi rzędnych 4f6d72001f232d92533fae426db8ef51.gif. Wszystkie wielkości są znormalizowane do jedynki; stopa opodatkowania 5068bce8f58cc253911c6db9d182b459.gif przybiera wartości z przedziału c54d66c496695cb31dd5c1907fb59f93.gif, który odpowiada przedziałowi 97f4557e83aa334f7bba13fdcf664e39.gif. Wartość jeden odpowiada podstawie opodatkowania 8755d4be1534a793325fa2a09d83e2ad.gif, która zostałaby wypracowana w warunkach, w których działalność państwa nie przynosiłaby niczego dobrego, anarchia byłaby możliwa, ludzie byliby moralni, uczciwi, sprawiedliwi, świat byłby doskonały, ludzie nie wyrządzaliby sobie nawzajem krzywd, nie byłoby żadnego zagrożenia i nie zachodziłaby konieczność pobierania podatku. Krzywa Laffera 6eee934de7652cd5c7870479fe1f4265.gif w pobliżu punktu 1cd6757019d9dfd4a659e3e7ff060231.gif zbiega asymptotycznie do prostej (np. jak na Wykres 1, niektóre przekonania interwencjonistów nie są całkiem bezpodstawne). Podstawa opodatkowania 8755d4be1534a793325fa2a09d83e2ad.gif musi spełniać określone warunki: przechodzić przez punkty c54d66c496695cb31dd5c1907fb59f93.gif i aa07225a7101b4bbb520c5c3e652b463.gif; w pobliżu punktu aa07225a7101b4bbb520c5c3e652b463.gif podstawa opodatkowania zbiega do zera asymptotycznie; wraz ze wzrostem stopy opodatkowania podstawa opodatkowania 8755d4be1534a793325fa2a09d83e2ad.gif spada eksponencjalnie; ściąganie danin jest zjawiskiem tego samego typu, co procent składany, a procent składany jest opisywany funkcją eksponencjalną. Najprostsza funkcja, która spełnia te warunki i daje się wyrazić w postaci jawnej, ma postać f43dd7cbbe0ccd3a448a929fb7a29d9c.gif, gdzie 0209b9f8c5e86ccea6e307afc3b20788.gif­ — stopa zgodności (Compliance Rate), która może być również nazwana współczynnikiem światopoglądowo motywacyjnym, o czym dalej. Krzywa Laffera cf4eeaa7109593b16f16ba3c120b2eb9.gif. Na potrzeby obliczeń na wielkościach liczbowych równanie podstawy opodatkowania przybiera postać 814a25726bdb6500b44d21b4f121a7b5.gif, krzywa Laffera 7b5740cd939d6953260cc6befa9bd96b.gif, gdzie N_0=N(0).

a254f204168805bb4acffb2836f77e48.jpg

Wykres 1

Dla stopy zgodności o wartości jeden 944ebe99691ac99fcf068f915fa755dc.gif przebiegi podstawy opodatkowania 8755d4be1534a793325fa2a09d83e2ad.gif i krzywej Laffera 6eee934de7652cd5c7870479fe1f4265.gif przedstawiają Wykres 2 i Wykres 3.

447be6be72ba712022ec727ecf5425a6.jpg

Wykres 2

925fc62e1e4fdf796b87f333e01f25d4.jpg

Wykres 3

Zwróćmy uwagę, na to, że podstawa opodatkowania 8755d4be1534a793325fa2a09d83e2ad.gif i krzywa Laffera 6eee934de7652cd5c7870479fe1f4265.gif zbiega w pobliże zera w pewnej odległości przed osiągnięciem przez stopę opodatkowania 5068bce8f58cc253911c6db9d182b459.gif wartości jeden. To pułapka czwartego świata. Opisywanie zjawiska, które nie zostało założone przed skonstruowaniem postaci może być przesłanką na rzecz trafności postaci podstawy opodatkowania 8755d4be1534a793325fa2a09d83e2ad.gif i krzywej Laffera 6eee934de7652cd5c7870479fe1f4265.gif.

Stopa zgodności 0209b9f8c5e86ccea6e307afc3b20788.gif pozwala na szerokie i elastyczne manipulowanie podstawą opodatkowania 8755d4be1534a793325fa2a09d83e2ad.gif i krzywą Laffera 6eee934de7652cd5c7870479fe1f4265.gif. Wraz ze wzrostem stopy zgodności 0209b9f8c5e86ccea6e307afc3b20788.gif maleją 3cade4e5e01fb3e11898bb836517d1f3.gif i 3efdbe7599078591f5446e216b6d0b0c.gif 08e9aa175205665f26639e06b8e73472.gif. Kiedy stopa zgodności 0209b9f8c5e86ccea6e307afc3b20788.gif maleje, 3cade4e5e01fb3e11898bb836517d1f3.gif i 3efdbe7599078591f5446e216b6d0b0c.gif rosną 8f4d310567c64ce6f3a833bc832ea972.gif. W szczególności dla niektórych wartości stopy zgodności 0209b9f8c5e86ccea6e307afc3b20788.gif podstawa opodatkowania 8755d4be1534a793325fa2a09d83e2ad.gif i krzywa Laffera 6eee934de7652cd5c7870479fe1f4265.gif mogą być argumentami na rzecz interwencjonizmu. Przebiegi podstawy opodatkowania 8755d4be1534a793325fa2a09d83e2ad.gif i krzywej Laffera 6eee934de7652cd5c7870479fe1f4265.gif dla stopy zgodności 1a7e167fb1f6fd262539e57eb0a4eeeb.gif przedstawiają Wykres 4 i Wykres 5.

166de47473d230dec823f6171a25e644.jpg

Wykres 4

8659567017a481dac20e2056ad13ee4c.jpg

Wykres 5

Zauważmy, że negatywny wpływ danin na podstawę opodatkowania 8755d4be1534a793325fa2a09d83e2ad.gif jest mały; w dużym przedziale zachowuje wysoką wartość i spada powoli. Krzywa Laffera 6eee934de7652cd5c7870479fe1f4265.gif w dużej odległości od punktu 1cd6757019d9dfd4a659e3e7ff060231.gif zachowuje zależność od stopy opodatkowania 5068bce8f58cc253911c6db9d182b459.gif bliską liniowej, czyli tak, jak tego chcą interwencjoniści.

Dobieranie wartości stopy zgodności 0209b9f8c5e86ccea6e307afc3b20788.gif, tak żeby dogodzić gustom interwencjonistów jest zajęciem czczym i nie ma związku z rzeczywistością. Stopa zgodności 0209b9f8c5e86ccea6e307afc3b20788.gif mało zależy od czasu oraz wpływu innych okoliczności zewnętrznych i z dobrym przybliżeniem może być traktowana jako stała. Wyznaczenie wartości stopy zgodności 0209b9f8c5e86ccea6e307afc3b20788.gif na podstawie danych gospodarczych jest ważnym zadaniem ekonomii.

Negatywny wpływ pobierania przez władzę publiczną danin polega głównie na odbieraniu producentom ich środków produkcji, jakimi niewątpliwie są ich pieniądze. Po przepisach ingerujących w sposoby prowadzenia działalności gospodarczej jest to druga przyczyna obniżająca wydajność pracy. Pobieranie przez władzę publiczną danin na gałęzi zstępującej (prawej) krzywej Laffera 6eee934de7652cd5c7870479fe1f4265.gif można porównać do przejadania ziarna siewnego, bądź wykopywania sadzeniaków przez kołchoźników.

Jude Wanninski[4] przesadza z porównaniami do życia rodzinnego.

Wanninski pisze, „W czasach wojny punkt E może leżeć nawet bardzo blisko 100%”. Podczas wojny stopa opodatkowania 5068bce8f58cc253911c6db9d182b459.gif może wyjść poza zakres i przekroczyć 100%. Można powiedzieć, że żołnierz ginąc na wojnie płaci państwu podatek równy odszkodowaniu za utratę życia. Niejednokrotnie wartość tego odszkodowania jest wyższa od podatku, który poległy żołnierz byłby zdolny zapłacić państwu, gdyby nie był żołnierzem, tylko cywilem­ — podatnikiem; czyli stopa zapłaconego przez niego państwu podatku jest większa od 100%. Gdyby ten człowiek był zdolny zapłacić państwu podatek wyższy od kwoty odszkodowania za życie, państwu nie opłacałoby się go werbować, tylko zostawić w cywilu, pobrać podatek, wynająć najemnika i jeszcze trochę zaoszczędzić.

W rozdziale „Krzywa Laffera a rebours[5] Gwiazdowski napisał, że przyczyną upadku Pierwszej Rzeczypospolitej była za niska stopa opodatkowania. Gwiazdowski nie uwzględnił: stałego wydłużania pańszczyzny, przepisów ograniczających wolność gospodarowania, strat poniesionych w wyniku najazdów tatarskich, buntów kozackich, wojen z Moskwą, ze Szwecją (z Potopem włącznie), z Turcją, wojen domowych­ — prawie każdej elekcji towarzyszyło zawiązywanie konfederacji i wojna pomiędzy stronnictwami kandydatów i in. Wszystkie one sprawiły, że, jak to napisał Karol von Clausewitz w dziele „O wojnie”, „Polska stała się bezbronnym stepem, drogą publiczną, po której mogą bezkarnie grasować obce wojska”. Gdyby te straty uwzględnić w stopie opodatkowania 5068bce8f58cc253911c6db9d182b459.gif mogłoby okazać się, że 5068bce8f58cc253911c6db9d182b459.gif w ówczesnej Rzeczypospolitej jest większe od 3cade4e5e01fb3e11898bb836517d1f3.gif, i że znajduje się ona na gałęzi zstępującej krzywej Laffera 6eee934de7652cd5c7870479fe1f4265.gif. Największe straty nadmiernie wysoka stopa opodatkowania przynosi nie samej gospodarce, tylko ludziom; łamie charaktery, wypacza psychikę, umniejsza ducha, psuje obyczaje, zniechęca do poświęceń, wywiązywania się z powinności, etc., etc. Daje skutki odwrotne do zachodzących przy zmniejszaniu stopy opodatkowania 5068bce8f58cc253911c6db9d182b459.gif, które wymienił Bolton[6]: „większa akceptacja dla prawa” i „wzrost Współczynnika Aktywności Ekonomicznej”.

Warszawa, 31 grudnia 2005r.

Grzegorz Rossa



[1]40lat przed Arturem B. Lafferem to prawo ekonomiczne odkrył i z powodzeniem wdrożył Stefan Starzyński, zob. Grzegorz Rossa, Strategia prez. Stefana Starzyńskiego, https://www.arkiva.pl/artykul.php?id=94

[2]Robert Gwiazdowski, Krzywa Laffera, Przegląd Prawniczy

[3]tamże

[4]tamże

[5]tamże

[6]tamże

Artykuł w formacie RTF znajduje się w załączonym pliku 

3132c5844e3c07096def367e86c7458e.gif

Kryzys finansowy

 

Źródło: http://www.arkiva.pl/artykul.php?id=95