Matematyka Kreatywna cz.V

Możemy używać wielu funkcji matematycznych i nie wiedzieć w ilu wymiarach liczymy. Spowszedniały nam, przyzwyczailiśmy się do nich, ale one ukazują nam teraz swe nieznane oblicze.

 

025c8fa156b6b2a6bd7d76fa444e9863.jpg

 

GŁĘBOKA ANALIZA WZORU:

cd92d23907dc027a2fdec2cc07b90fd9.gif

 

 

Funkcje sinus i cosinus, to funkcje trygonometryczne, które operują na kącie α.

 

 

Wzór

cd92d23907dc027a2fdec2cc07b90fd9.gif

 

 

jest prawdziwy dla dowolnego kąta α i w ten sposób obejmuje całą płaszczyznę. Co ciekawe, powyższy wzór jest prawdziwy również dla płaszczyzny zespolonej.

Funkcja sinus bierze pod uwagę kąt α, a ten wyznacza stosunek wartości zmiennej y do przeciwprostokątnej. Innymi słowy, gdybyśmy mieli okrąg o współrzędnych środka w punkcie (0,0) i o promieniu r = 1, to ten promień byłby przeciwprostokątną, a wartość zmiennej y leżałaby na okręgu, np. w punkcie A.

Powyższe wywody ilustruje poniższy rysunek.

8910abeef6f65c4008f94aa242a46551.gif

Dla ściśle określonego kąta α, punkt A wyznacza dokładną wartość zmiennej y, która w funkcji sinus jest w liczniku, a przeciwprostokątna, będąca tutaj promieniem r, jest w mianowniku.

f72d9dcdb3d9520e96a8ad9337c8ad68.gif

 

Podobnie jest w przypadku funkcji cosinus. Różnica jedynie polega na tym, że zamiast zmiennej y, w punkcie A bierzemy pod uwagę zmienną x.

e8381a5510ac509118047ec7e1bc3a14.gif

 

 

Poniższy wykres przedstawia funkcję sinus i cosinus.

df1b8c938f3e707aff4b74573b5d5c71.gif

 

 

W tym szczególnym przypadku możemy dla funkcji sinus i cosinus, pominąć wartość r, gdyż jest równa 1.

abf5b47a958445385f47b401929b5307.gif

ec8cc15a9fbc84572fee070cf7c4f26d.gif

 

Kąt α jest właściwie długością łuku na wcześniej wspomnianym okręgu i występuje na płaszczyźnie w zakresie od 0 do . Jeżeli kąt α przekroczy ten zakres, to nadal mieści się na omawianej płaszczyźnie i w funkcji sinus i cosinus daje wyniki takie same jak w zakresie od 0 do . Jest tu zachowana pewna kontynuacja, która się powtarza w nieskończoność - od minus nieskończoności −∞ do plus nieskończoności +∞.

Jak widzimy na wykresie funkcji sinus i cosinus, wartości tych funkcji dla zmiennej y, powtarzają się i wahają się w zakresie od -1 do 1.

Inaczej mają się sprawy dla kwadratu funkcji sinus i cosinus - wahają się w zakresie od 0 do 1. Widać wyraźnie na wykresie poniżej, że gdy dodamy wartości obu kwadratów funkcji sinus i cosinus, to osiągamy jedynkę. Kwadraty obu tych funkcji pasują do siebie jak ulał. W porównaniu do poprzedniego wykresu, to co było ujemnością na wykresie funkcji sinus i cosinus, na wykresie kwadratów tych funkcji, przeszło w dodatnie ich wartości.

9c7fa74cc3629adec6d32feb4e1d74b0.gif

 

Ponieważ we wzorze

cd92d23907dc027a2fdec2cc07b90fd9.gif

operujemy funkcjami trygonometrycznymi, sinusem i cosinusem na dowolnym kącie α, to w ten sposób ujmujemy płaszczyznę zespoloną, a skoro powyższe funkcje występują do kwadratu, czyli płaszczyzny zespolone wymnażają się, osiągamy sferę 4-D. Jeżeli wymnażamy dwie płaszczyzny zespolone, czyli 2-D, to:

2-D x 2-D = 4-D.

Sfera 4-D wykracza poza nasze możliwości myślowe, ale dzięki zrozumieniu funkcji sinus i cosinus łatwiej zrozumiemy nowe ujęcie.

Ponieważ w płaszczyźnie zespolonej mamy liczby urojone, to musimy zrozumieć, że wynikiem funkcji sinus i cosinus, będą zawsze liczby rzeczywiste.

00bbde6867492dbc28997918fa93a8fb.gif

 

Jak widzimy np. w funkcji sinus, wartość urojona i uprości się i otrzymamy:

fe12d3e9dd4f7f1ca886b325e9541e6b.gif

 

 

Jest jeszcze inny ciekawy element, który musimy wziąć pod uwagę, że właściwie przy założeniu, że r = 1 występuje tu szczególna rzecz, której nie widać na pierwszy rzut oka. Otóż obie funkcje sinus i cosinus do kwadratu, tworzą okrąg o promieniu r = 1. Dojdziemy teraz, krok po kroku, do równania okręgu.

abf5b47a958445385f47b401929b5307.gif

 

ec8cc15a9fbc84572fee070cf7c4f26d.gif

cd92d23907dc027a2fdec2cc07b90fd9.gif

0cf76fcd81c6c2feef96ecfe92eb6cb6.gif

8910abeef6f65c4008f94aa242a46551.gif

 

W ten sposób doszliśmy do równania koła, które jest w tym ujęciu sinusowym i cosinusowym zadziwiającym wirem, choć zamkniętym w pewnym obszarze, to jednak sięgającym daleko do nieskończoności dwóch płaszczyzn zespolonych 2-D. Również przy założeniu, że r = 1 jest tu zachowana swoista "kwadratura koła".

b9a2a09035d1b083f512af7087d26b31.gif

 

 

Całość jest bardzo ciekawą konstrukcją, gdyż liczby urojone, z których się wywodzi, w rzeczywistości są pokonane inną wewnętrzną konstrukcją, która istnieje już w 4-D jako wynik rzeczywisty.

C.D.N.